Question

una hoja de cartón tiene el doble de largo que de ancho se cortan 4 cm de lado de las esquinas parea doblar los lados y así formar una caja el volumen de la caja es de 200cm3 encuentren las dimensiones originales de la hoja del cartón

Answer 1

POLIEDROS.  

VOLUMEN PRISMA  CUADRANGULAR

Efectivamente, lo que tenemos aquí es la construcción de un prisma cuadrangular, también llamado "paralelepípedo" que son aquellos poliedros   (figuras de 3 dimensiones)   que se caracterizan por tener cuadriláteros paralelogramos en sus caras como en este caso que disponemos de un cartón rectangular ya que nos dice que el largo es el doble que el ancho.

Así te lo he dibujado en figura adjunta donde verás que represento con la incógnita "x" a la medida del ancho y con "2x" a la medida del largo porque es el doble que el ancho.

Esas son las medidas que el ejercicio me pide que calcule de tal modo que cortándole cuadraditos en las esquinas de 4 cm. de lado, el volumen de la caja resultante al formarse las paredes de la caja, sea de 200 cm³.

De ahí ya puedo deducir que la altura de la caja que construya será justamente lo que mide el lado del cuadradito, o sea, 4 cm.

Al levantar esos laterales, el fondo de la caja a construir se reducirá en 4 cm. por cada lado, lo ves?  Dicho fondo lo he dibujado con líneas de puntos y he anotado las nuevas medidas.

Es decir que ese fondo medirá lo que represento en esta expresión:

• Largo del fondo de la caja = 2x - 4 - 4 = 2x-8
• Ancho del fondo de la caja = x - 4 - 4 = x-8

Pues ahora solo hay que realizar el producto de las tres dimensiones e igualarlo al volumen que quiero conseguir (200 cm³).

Tenemos estas dimensiones:

• Largo = 2x-8  cm.
• Ancho = x-8  cm.
• Alto = 4  cm.

Para calcular el volumen en cualquier paralelepípedo se usa:

V = Largo · Ancho · Alto = 200   ...         sustituyo los datos...

V = (2x-8) · (x-8) · 4 = 200

... efectúo el producto de binomios, reduzco términos semejantes y resuelvo...

$8x^2-64x-32x+256=200\\ \\ 8x^2-96x+56=0\ ...\ dividiendo\ todo\ entre\ 8\ ...\\ \\ x^2-12x+7=0 \\ \\ resolviendo\ por\ f\'ormula\ para\ ecuaciones\ cuadr\'aticas\\ \\ x_1_,\ x_2= \dfrac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\ \\ \\ x_1=\dfrac{12+10,77}{2} =11,38\ cm.$

La segunda solución de la ecuación nonos vale por resultar una medida del ancho del fondo de solo milímetros y por tanto no nos vale para el ejercicio así que concluimos con que el ancho mide 11,8 cm.

Por tanto, el largo mide el doble:  11,38 × 2 = 22,77 cm.

Las dimensiones originales de la hoja de cartón son:  22,77 y 11,38 cm.

Hagamos la comprobación:

Las dimensiones del fondo de la caja se obtienen restando 8 cm. a las que hemos calculado para todo el cartón así que tenemos el siguiente paralelepípedo:

• Largo = 2x - 8 = 22,77 - 8 = 14,77 cm.
• Ancho = x - 8 = 11,38 - 8 = 3,38 cm.
• Alto = 4 cm.

Efectúo el producto para hallar el volumen:

14,77 × 3,38 × 4 = 199,69 cm³

Los decimales de la raíz cuadrada de la fórmula para ecuaciones cuadráticas los hemos tomado por defecto y es por ello que el resultado final del volumen no llega a los 200 cm³ por muy poco.