Question

Calcular el área del circulo si el triángulo es equilátero y sus ladls miden 6 cm

Answer 1

Si quieres entender lo que explique deberías dibujártelo.

Del enunciado hay que deducir que el equilátero está inscrito en el círculo aunque también podría estar circunscrito de forma que los lados fueran tangentes al círculo. Yo lo tomaré como círculo circunscrito ya que no se aportan más detalles.

Los equiláteros poseen la característica de que todas sus líneas notables   (mediatriz, bisectriz, mediana)   coinciden en el mismo punto central que su círculo circunscrito.

Teniendo eso en cuenta, si trazo dos radios a dos vértices del equilátero se me forma otro triángulo que en este caso será isósceles ya que los dos radios corresponderán a los lados iguales y el lado desigual será el del equilátero, lo pillas?  Si te lo dibujas lo verás.

Como ya hemos dicho, el radio trazado hasta uno de los vértices del equilátero, parte al ángulo de 60º de aquél en dos ángulos iguales de 30º con lo que al sumarlo al otro ángulo de 30º tenemos = 60º.

Eso nos dice que el ángulo formado entre los radios será:
180 - (30+30) = 120º  ya que también sabemos que la suma de ángulos de cualquier triángulo siempre nos dará 180º.

Tenemos pues un nuevo triángulo que es isósceles cuyos lados iguales corresponden a radios del círculo.

Acudiendo al teorema del seno.

a/senA = b/senB

Digamos que el lado "a" corresponde al del equilátero y por tanto su ángulo opuesto será el de 120º.

El lado "b" será cualquiera de los dos lados iguales que forman los radios y su ángulo opuesto será uno de los de 30º

6/sen120º = b/sen30º -------> 6·1,5 = b·(√3)/2
b = 18 / 1.73 = 10,4 cm. mide el radio.

Sólo queda usar la fórmula para el área del círculo.
$A = \pi* r^{2}$ = 3,1416 * 108,16 = 339,8 cm²

Saludos.