Question

La suma de tres números es 66. El menor disminuido en 1 equivale a un cuarto de la suma del mayor y el mediano; la diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 20. Hallar los números.

Answer 1

ECUACIONES

EJERCICIO

Llamemos "a" al número mayor, "b" al mediano y "c" al número menor.

Convertimos a lenguaje algebraico:

$\text{La suma de tres n\'{u}meros es 66:}\ \ \bold{a + b + c = 66}$

$\text{El menor disminuido en 1 equivale a un cuarto de la suma del mayor y el mediano:}$$\bold{c - 1 = \dfrac{a+b}{4}}$

$\text{La diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 20:}\ \ \bold{b - c = a - 20}$

Ya tenemos estas tres expresiones. Ahora, vamos a despejar "a" en la expresión 3 (solo pasamos -20 como +20 al primer miembro):

        b - c = a - 20

b - c + 20 = a

Bien. Entonces, ordenando, decimos que a = b - c + 20. Este valor de "a" lo reemplazamos en la expresión 1, que indica que la suma de los tres números es 66:

a + b + c = 66

b - c + 20 + b + c = 66

Eliminamos -c + c:

b + 20 + b = 66

2b + 20 = 66

Resolvemos. Pasamos +20 como -20 al segundo miembro:

2b = 66 - 20

2b = 46

Pasamos 2 dividiendo al segundo miembro:

b = 46 ÷ 2

b = 23

El número mediano es 23.

Ahora, este valor hallado lo reemplazamos en la expresión 1:

a + b + c = 66

a + 23 + c = 66

a + c = 66 - 23

a + c = 43

Despejamos "a":

a = 43 - c

Este valor lo reemplazamos en la expresión 3:

$c - 1 = \dfrac{a+b}{4}$

$c - 1 = \dfrac{43 - c + 23}{4}$

Pasamos 4 multiplicando al primer miembro:

4(c - 1) = 43 - c + 23

4c - 4 = 43 - c + 23

Pasamos -4 como +4:

4c = 43 - c + 23 + 4

Pasamos -c como +c al primer miembro:

4c + c = 43 + 23 + 4

5c = 70

c = 70 ÷ 5

c = 14

El menor número es 14.

Solo falta hallar el mayor. Reemplazamos los valores de "b" y "c" n la expresión 1:

a + b + c = 66

a + 23 + 14 = 66

a + 37 = 66

Pasamos restando 37 al segundo miembro:

a = 66 - 37

a = 29

Respuesta. El número mayor es 29, el número mediano es 23 y el número menor 14.