Question

Determina que distancia del pie de una torre de 42m de altura debe colocarse un observador para que el ángulo de elevación de la cúspide de la torre sea 16º

Answer 1

El observador deberá colocarse a una distancia de aproximadamente 146.47 metros de la torre

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

La altura de la torre junto con el suelo -donde esta se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura de la torre, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde el pie de la torre hasta cierto punto donde se encuentra el observador .Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la longitud visual desde el punto donde se ubica el observador hasta la cúspide de la torre la cual es vista con un ángulo de elevación de 16°

Donde se pide hallar:

A qué distancia de la torre deberá colocarse el observador para que el ángulo de elevación a su cúspide sea de 16°

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura de la torre y de un ángulo de elevación de 16°

• Altura de la torre = 42 metros

• Ángulo de elevación = 16°

• Debemos hallar a qué distancia de la torre debe colocarse el observador

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura de la torre, y conocemos un ángulo de elevación de 16° y debemos hallar a qué distancia de la torre debe colocarse el observador - la cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Hallamos a qué distancia de la torre se debe colocar el observador

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 16^o }$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(16^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(16^o) = \frac{ altura \ de\ la \ torre }{ distancia\ observador \ a \ torre } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ observador \ a \ torre = \frac{ altura \ de\ la \ torre }{tan(16^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ observador \ a \ torre = \frac{ 42\ m }{tan(16^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ observador \ a \ torre= \frac{ 42\ m }{0.286745385759 } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ observador \ a \ torre= 146.4714 \ metros } }$

$\textsf{Redondeando }$

$\large\boxed{\bold { distancia\ observador \ a \ torre \approx 146.47 \ metros } }$

Luego el observador deberá colocarse a una distancia de aproximadamente 146.47 metros del pie de la torre

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto