Si el precio de la entrada de un cine es de 6€, van 320 personas. El propietario sabe por experiencia que por cada augmento de 0,25€ en el precio de la entrada van 10 personas menos. Encuentra:
a) La funcion que determina el numero de espectadores en funcion de la entrada
b)La funcion que determina los ingresos del cine en función del preció de la entrada.
c)El precio de la entrada para que los ingresos del propietario sean maximos
d)El numero de espectadores que iran al cine cuando el precio sea el que corresponde a los ingresos máximos i di cuales son los ingresos máximos.
Respuestas
En el problema no dice si el precio pueda ser menor a 6€ y entonces habria mas espectadores, tomaremos eso en cuenta
n= Numero de espectadores
p= Precio con el aumento
n=320 si el precio es 6€
n=310 si el precio es 6,25€
"x" es igual a los espectadores q disminuyen
n=320-x ecuacion (1)
Vamos a generar una ecuacion para x con los datos
de 10 espec y 6€
x=(p-6)*a ecuacion (2)
coloco "a" para que al multiplicar el precio subido con otro
numero nos dé el num de espectadores
10=(6,25-6)a
entonces "a"=40
"a" reemplazamos en (2)
x=(p-6)*40
Reemplazamos en (1)
n=320 - (p-6)*40 y ordenando
n=320-40(p-6)
En el inciso 2 seria
i=ingresos del cine
y eso seria multiplicando en numero de
espectadores por el precio de la entrada
i=n*p
y la ecuacion anterior la reemplazamos en esta
porque es en funcion de el precio de la entrada
i=(320-40*(p-6))p
Y eso es todo, espero q te sirva
Los ingresos máximos se logran para el precio de 7 € y la cantidad de espectadores es de 280
Presentación de la función de número de espectadores e ingresos
Tenemos que el propietario sabe por experiencia que por cada aumento de 0,25€ en el precio de la entrada van 10 personas menos, entonces si aumenta "x", tenemos que disminuye en 10*x/0.25 € = 40x
El precio es 6€ + x y la cantidad de personas es igual a 320 - 40x,
luego la función de ingresos es:
f(x) = (320 - 40x)(6 + x)
f(x) = 1920 + 320x - 240x - 40x²
f(x) = - 40x² + 80x + 1920
Cálculo de máximos ingresos y cantidad de espectadores
Es una parábola con coeficiente cuadrático negativo entonces tiene un soo punto crítico y es máximo, derivamos e igualamos a cero
-80x + 80 = 0
x = 80/80
x = 1
Precio de la entrada: 6 € + 1 € = 7€
Número de espectadores: 320 - 40*1 = 280
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