Question

¿Cuál es el vector unitario, del vector v igual paréntesis izquierdo 3 coma 4 paréntesis derecho?

Answer 1

El vector unitario solicitado es:

$\boxed{\bold { \frac{ \overrightarrow{V} }{ |V| } =\left( \frac{3}{5} \ , \ \frac{4}{5}\right) } }$

Solución

¿Qué es un vector unitario?

Se trata de un vector de módulo = 1. En ciertas ocasiones, a los vectores unitarios también se les da el nombre de vector normalizado.

Por lo tanto un vector de tipo unitario es todo vector de módulo igual a uno (1). Luego coincide con la unidad de medida que se usa para entender la magnitud del vector.

Componentes de un vector y vectores unitarios

Las componentes de un vector son las coordenadas del vector en un espacio cartesiano.

Si el espacio es bidimensional, entonces son dos componentes: (x, y). En cambio, si es tridimensional tenemos tres componentes: (x, y, z).

En el ejercicio propuesto tenemos dos componentes (x, y)

Al buscar un vector unitario buscamos un vector cuya dirección y sentido sean iguales al original, pero con valor de módulo igual a uno

Hallando el valor del módulo del vector

Debemos aplicar el teorema de Pitágoras.

Dado que la magnitud del vector equivale a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, siendo los catetos los componentes en x y en y del vector.

Planteamos:

$\large\boxed {\bold { \overrightarrow{V}= \sqrt{ {Vx}+{Vy} } }}$

$\boxed {\bold { \overrightarrow{V}= \sqrt{ 3^{2} +4^{2} } }}$

$\boxed {\bold { \overrightarrow{V}= \sqrt{ 9 + 16 } }}$

$\boxed {\bold { \overrightarrow{V}= \sqrt{ 25 } }}$

$\boxed {\bold { \overrightarrow{V}= 5 } }}$

$\large\boxed {\bold { \overrightarrow{V} \ (3 \, \ 4)= 5 } }}$

Cálculo del vector unitario

Se debe hallar un vector cuya dirección y  sentido sean iguales a las originales

Donde su valor de módulo sea igual a uno (1)

Luego dividimos el vector por su propio módulo

Resultando ser la magnitud que hallamos en el inciso anterior

Recordemos que una de las reglas de la división es que todo número es divisible por sí mismo y por la unidad. Por lo tanto, si dividimos un vector por sí mismo, tendremos un vector unitario

Es decir:

$\boxed{\bold { \overrightarrow{V}= 5 = \frac{ \overrightarrow{V} }{ |V| } =\frac{5}{5} = 1 } }$

$\boxed{\bold { \frac{ \overrightarrow{V} }{ |V| } =\left( \frac{3\ , \ 4}{5} \right) } }$

$\boxed{\bold { \frac{ \overrightarrow{V} }{ |V| } =\left( \frac{3}{5} \ , \ \frac{4}{5}\right) } }$

Luego

El vector unitario del vector (3 , 4)

$\boxed{\bold { (3 \ , \ 4) =\left( \frac{3}{5} \ , \ \frac{4}{5}\right) } }$

Verificación

Comprobamos para ver si los valores hallados resultan dar uno (1)

Luego, si es así habremos hallado las magnitudes correctas

$\boxed{\bold { \frac{ \overrightarrow{V} }{ |V| } =\left( \frac{3}{5} \ , \ \frac{4}{5}\right) } }$

Empleamos el teorema de Pitágoras

$\boxed{\bold { \frac{ \overrightarrow{V} }{ |V| } = \sqrt{ \left(\frac{3}{5}\right)^{2} + \left( \frac{4}{5}\right) ^{2} } } }$

$\boxed{\bold { \frac{ \overrightarrow{V} }{ |V| } = \sqrt{ \frac{9}{25} + \frac{16}{25} } } }$

$\boxed{\bold { \frac{ \overrightarrow{V} }{ |V| } = \sqrt{ \frac{25}{25} } } }$

$\boxed{\bold { \frac{ \overrightarrow{V} }{ |V| } = \sqrt{1 } } }$

$\boxed{\bold { \frac{ \overrightarrow{V} }{ |V| } = 1 } }$