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Respuesta:
El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores, el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:
1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).
1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).
1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).
Esta notación sexagesimal tiene su origen en Mesopotamia, donde los astrónomos y matemáticos usaron para sus cálculos frecuentemente números en sistema sexagesimal, lo cual facilitaba sus cálculos.
Notación sexagesimal
Podemos expresar una cantidad en grados, minutos y segundos; las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo. Ejemplo:
12°34′34″
13°3′23,8″
124°45′34,70″
-2°34′10″
Teniendo cuidado, como norma de notación, de no dejar espacio entre las cifras; es decir:
escribir 12°34′34″ y no 12° 34′ 34″
Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal teniendo en cuenta que:
1′ = (1/60)° = 0,01666667° (redondeando a ocho dígitos)
1″ = (1/60)′ = (1/3600)° = 0,00027778°
Así, 12°15′23″ = 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)° ≈ 12,25639°
Notación decimal
Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la fraccionaria con la coma decimal; se divide entre 60 en la forma normal de expresar cantidades decimales. Lo que se busca es transformar el minuto y el segundo en números decimales. Por ejemplo:
23,2345°
12,32°
-50,265°
123,696°
Relación entre radianes y grados sexagesimales
Se parte de la base de una circunferencia completa tiene {\displaystyle 2\pi }2\pi radianes, y que una circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:
{\displaystyle {\rm {{360}\;{grados}={2\pi }\;{radianes}}}}{\displaystyle {\rm {{360}\;{grados}={2\pi }\;{radianes}}}}
{\displaystyle {\rm {{180}\;{grados}={\pi }\;{radianes}}}}{\displaystyle {\rm {{180}\;{grados}={\pi }\;{radianes}}}}
Haciendo una regla de tres simple se llega a que el factor de conversión de grados sexagesimales a radianes es:
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}180^{\circ }&\longrightarrow &{\pi }\;{radianes}\\g&\longrightarrow &r\end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{ccc}180^{\circ }&\longrightarrow &{\pi }\;{radianes}\\g&\longrightarrow &r\end{array}}}
Luego tenemos que, para un ángulo g dado en grados, su equivalente r en radianes es:
{\displaystyle r=g\cdot {\frac {\pi }{180}}\cdot {\rm {radianes}}}{\displaystyle r=g\cdot {\frac {\pi }{180}}\cdot {\rm {radianes}}}
y viceversa (si tenemos que, para un ángulo r dado en radianes, su equivalente g en grados es):
{\displaystyle g=r\cdot {\frac {180}{\pi }}\cdot {\rm {grados}}}{\displaystyle g=r\cdot {\frac {180}{\pi }}\cdot {\rm {grados}}}
Diferencia entre radián, gradián y grado sexagesimal
Los tres son unidades de medida de ángulos planos, y se diferencian así:
Radián (rad): arco cuya longitud es la del radio.
Gradián o grado centesimal (g): arco cuya longitud es la cuadringentésima (1/400) parte de una circunferencia.
Grado sexagesimal (°): arco cuya longitud es la tricentésima sexagésima (1/360) parte de una circunferencia.
Explicación paso a paso: