Las diagonales de un paralelogramo miden 18 cm y 23 cm y el ángulo agudo
entre ellos mide 62° 30’. Halla las longitudes de los lados del paralelogramo.
Respuestas
PARALELOGRAMO - LEY DE COSENOS
Al cruzarse las dos diagonales, cada una se corta en dos partes iguales. Por eso, la diagonal de 23 cm se divide en 11,5 y 11,5, y la diagonal de 18 cm se divide en 9 y 9.
Además, 1° = 60’, así que, como 30’ es la mitad, equivale a 0,5°.
Por ello, el ángulo de 62° 30’ es igual a: 62° + 0,5° = 62,5°.
Veamos la imagen adjuntada 1.
Para hallar los lados del paralelogramo, aplicamos la ley de cosenos.
La Ley de Cosenos es una generalización del Teorema de Pitágoras y se puede usar para cualquier triángulo, no solo para los triángulos rectángulos.
La fórmula de la Ley de Cosenos es:
c² = a² + b² - 2(a)(b)(cosC)
"El cuadrado del lado "c" es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que éstos forman"
Donde "a", "b" y "c" son los lados del triángulo, y "C" es el ángulo opuesto del lado "c".
Vamos a hallar el lado más largo del paralelogramo.
También necesitamos hallar el ángulo adyacente; dado que ambos son complementarios, si uno mide 62,5°, el otro medirá 117,5° (su suma debe ser 180°).
Veamos la imagen adjuntada 2.
Aplicamos la fórmula. Como hallaremos el lado largo del paralelogramo, el ángulo opuesto a este lado (al frente) es 117,5°:
c² = a² + b² - 2(a)(b)(cosC)
c² = 11,5² + 9² - 2(11,5)(9)(cos 117,5°)
c² = 132,25 + 81 - 207(cos 117,5°)
c² = 213,25 - 207(-0,4617)
c² = 213,25 + 95,5719
c² = 308,8219
c = √308,8219
c = 17,57
El lado largo del paralelogramo mide aproximadamente 17,57 cm.
Aplicamos nuevamente la fórmula. Esta vez, como vamos a hallar el lado corto del paralelogramo, el ángulo opuesto al lado es 62,5°.
c² = a² + b² - 2(a)(b)(cosC)
c² = 11,5² + 9² - 2(11,5)(9)(cos 62,5°)
c² = 132,25 + 81 - 207(cos 62,5°)
c² = 213,25 - 207(0,4617)
c² = 213,25 - 95,5719
c² = 117,6781
c = √117,6781
c = 10,85
Respuestas.
El lado largo del paralelogramo mide aproximadamente 17,57 cm.
El lado corto del paralelogramo mide aproximadamente 10,85 cm.
