Question

Se dispara un proyectil con un ángulo de 37º una velocidad inicial 58 m/s, calcular la máxima altura, su alcance horizontal máximo y su tiempo de vuelo.

Answer 1

Respuesta:

Espero que te ayude

Explicación:

Answer 2

La altura máxima es de 61,80 metros. El alcance máximo del proyectil es de 329,44 metros. El tiempo de vuelo es de 7,10 segundos

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Para encontrar la posición del proyectil es esencial establecer un sistema de referencia. En donde la velocidad con que se lanza el proyectil formará un ángulo α con la horizontal, que nos permitirá determinar las componentes x e y recurriendo a las relaciones trigonométricas habituales.

Siendo para el eje y

$\boxed {\bold { {V_{y} =V \ . \ sen \ \theta}}}$

Y para el eje x

$\boxed {\bold { {V_{x} =V_{} \ . \ cos \ \theta}}}$

Siendo las ecuaciones del movimiento parabólico

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { {V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { y ={y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} = -g$

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x ={x_{0} +V_{x} \ . \ t }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0$

Solución

Como se trata de una composición de movimientos en donde ambos son independientes

Hallaremos las componentes horizontal y vertical para una $\bold { V_{0} = 58 \ m /s }}$

Velocidad horizontal

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje x    

$\boxed {\bold { {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0x} = 58\ m/ s \ . \ cos \ 37\° }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 37\° es } \bold {\frac{4 } { 5 } }}$

$\boxed {\bold { {V_{0x} = 58\ m/ s \ . \ \frac{4}{5} }}}$

$\large\boxed {\bold { {V_{0x} = 46,40\ m/ s }}}$

Velocidad vertical

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje y  

$\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 58\ m/ s \ . \ sen \ 37\° }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 37\° es } \bold {\frac{ 3 } { 5 } }}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 58\ m/ s \ . \ \frac{3}{5} }}}$

$\large\boxed {\bold { {V_{0y} = 34,80\ m/ s }}}$

Las velocidades horizontal y vertical del disparo son respectivamente de 46,40 m/s y de 34,80 m/s

Hallamos la altura máxima

Para un valor de gravedad de 9,8m/s²

Calculamos antes el tiempo de subida del proyectil

El tiempo que tarda el objeto en subir está dado por

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0y} \ - \ g \ . \ t }}$

Cuando el proyectil alcanza su altura máxima ya no sube más y en ese instante de tiempo su velocidad es cero  $\bold { V_{y} = 0 }}$

$\boxed {\bold {V_{y} = 0 \ = \ V_{0}y \ - \ g \ . \ t_{subida} }}$

$\textsf{Despejando el tiempo que tarda en subir } } }}$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{V_{0y} }{g} }}$

$\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{ 34,80 \ m/s }{9,8 \ m/s^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} =3,55 \ segundos }}$

Sabemos que la altura máxima del proyectil se alcanza a la mitad del tiempo de vuelo. Es decir, para el tiempo de subida

Por lo tanto

Se sustituye este valor en la ecuación de la coordenada y para hallar la altura máxima:    

$\boxed {\bold { y_{max} = {V_{0y} \ . \ t_{hmax} \ +\ \frac{g \ . \ t_{hmax}^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { y_{max} = 34,80\;m/s \ . \ 3,55\;s \ + \ \frac{-9,8\;m/s^2 \ . \ (3,55\;s)^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { y_{max} = 123,54\;m \ + \ \frac{-9,8\;m/s^2 \ . \ 12,6025 }{2} }}}$    

$\boxed {\bold { y_{max} = 123,54\;m\ - \ \frac{123,9045 \ m }{2} }}}$

$\boxed {\bold { y_{max} = {123,54\;m -61,75225\;m }}}$

$\large\boxed {\bold { y_{max} \approx{61,80 \;metros }}}$        

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 61,80 metros

Cálculo del tiempo de permanencia en el aire

$\large\textsf{El tiempo de permanencia en el aire es } } }}$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 2\ t_{subida} }}$

$\textsf{Reemplazando } } }}$

Si

$\boxed {\bold {t_{subida} = 3,55\ s } }}$

$\boxed {\bold {t_{aire} = 2 \ . \ (3,55 \ s) }}$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 7,10\ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 7,10 segundos

Hallando el alcance máximo del proyectil

$\boxed {\bold { x_{MAX} =V_{0x} \ . \ t }}$

$\textsf{Reemplazando }$      

$\boxed {\bold { x_{MAX} = 46,40 \ m/s \ . \ 7,10 \ s }}$

$\large\boxed {\bold { x_{MAX} = 329,44 \ metros }}$

El alcance del proyectil es de 329,44 metros