Question

Una escalera de 14 m de largo esta recargada contra un edificio vertical, la base de la escalera resbala horizontalmente a razón de 4 metros por segundo. ¿Con qué rapidez resbala el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 12 m arriba del suelo?​

Answer 1

La rapidez con que resbala el extremo superior de la escalera es de -2,40 m/s

Solución

Se pide hallar con que rapidez se resbala por la pared del edificio el extremo superior de la escalera cuando esta se encuentra a 12 metros por arriba del suelo

Según los datos dados

Determinamos las variables

Donde

$\large\textsf{ Sea z la longitud de la escalera \ \ \ z = 14 metros }$

$\large\textsf{ Sea y la distancia de la cima de la escalera al piso \ \ \ y = 12 metros }$

$\large\textsf{ Sea x la distancia de la base de la escalera al edificio \ \ \ x = ? }$

$\large\textsf{Sea } }\bold { \frac{dx}{dt} } \large\textsf{ la raz\'on de cambio de como se aleja la escalera del piso} \\\\large\textsf{desde el edificio }\ \ \ \bold { \frac{dx}{dt} = 4 m/ s }$

$\large\textsf{Sea } }\bold { \frac{dy}{dt} } \large\textsf{ la raz\'on de cambio de como se resbala la cima de la escalera } \\\large\textsf{desde el edificio }\ \ \ \bold { \frac{dy}{dt} = INC\'OGNITA }$

Donde lo que no cambia es la longitud de la escalera

Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene

$\large\boxed {\bold { x^{2} \ + \ y^{2} = \ z^{2} }}}$

Hallamos x

$\large\boxed {\bold { x^{2} \ + \ 12^{2} = \ 14^{2} }}}$

Luego

$\large\boxed {\bold { x = 7,21\ metros }}$

Para establecer la razón relacionada se tiene:

$\large\boxed {\bold { x^{2} \ + \ y^{2} = \ 14^{2} }}$

Dado que lo único que permanece constante es el largo de la escalera

A partir de la razón relacionada se obtiene

$\boxed {\bold { 2 x \ \frac{dx}{dt} \ + \ 2y \ \frac{dy}{dt} = \ 0 }}$

Simplificando

$\boxed {\bold { x \ \frac{dx}{dt} \ + \ y \ \frac{dy}{dt} = \ 0 }}$

$\large\textsf{Para hallar } }\bold { \frac{dy}{dt} } \large\textsf{ reemplazamos valores y se tiene: }$

$\boxed {\bold { 7,21 \ m \ . \ 4 \ m/s \ + \ 12 \ m \ \frac{dy}{dt} = \ 0 }}$

$\boxed {\bold { \frac{dy}{dt} = \frac{ -7,21 \ m \ . \ 4 \ m/s }{ 12 \ m } }}$

$\boxed {\bold { \frac{dy}{dt} = \frac{ -28,84 \ m^{2} /s }{ 12 \ m } }}$

$\large\boxed {\bold { \frac{dy}{dt} = -2,40\ m /s }}$

La rapidez con que resbala el extremo superior de la escalera es de -2,40 m/s