Question

Se tiene una lámina cuadrada de 60 cm de lado. Si se desea construir una caja recortándole cuadrito iguales en cada esquina y doblando las partes laterales, cuánto debe medir el lado de los cuadritos para que la caja tenga volumen máximo?

Answer 1

Respuesta:

x=10 cm

Explicación:

las dimensiones algebraicas del área de la lámina

son

$A=(60-2x)^{2}$

$A=3600-240x+4x^{2}$

el corte "x" es la altura de la caja, asi el volumen será:

$V=xA$  donde A es la expresión del área

$V=x(3600-240x+4x^{2} )=3600x-240x^{2} +4x^{3}$

Derivamos el volumen con respecto a "x"

$\frac{dV}{dx} =3600-480x+12x^{2}$

la ecuación cuadrática resultante se soluciona con la fórmula general

$a=12, b=-480, c=3600$

sustituimos

$x=\frac{-(-480)+-\sqrt{(-480)^{2}-4(12)(3600) } }{2(12)}$

$x=\frac{480+-\sqrt{57600} }{24}$$=\frac{480+-240}{24}$

para la primera raiz usamos la suma

$x_{1} =\frac{720}{24} =30$

Para la segunda raíz usamos la resta

$x_{2} =\frac{240}{24} =10$

Este último es el corte necesario para asegurar que la caja tenga el máximo volumen posible