Question

Encontrar los extremos relativos de la función (Valoración 4 puntos) f(x)=x^3-3x^2

Answer 1

•queremos calcular los máximos y mínimos (o extremos relativos) de la función:

$f(x)=x^{3}-3x^{2}$

•Sacamos la segunda derivada:

$f(x)=x^{3}-3x^{2}\\\\f'(x)=3x^{2} -6x\\\\f''(x)=6x-6$

•Ya que tenemos la segunda derivada, calculamos la ecuación de:

$f'(x)=0$

•La cuál sería:

$3x^{2} -6x=0$

•Resolvemos:

$3x^{2}-6x=0\\\\x(3x-6)=0\\\\x_1=0\\\\3x-6=0\\\\3x=6\\\\x=\frac{6}{3}\\\\x_2=2$

•Ya que tenemos que "x₁=0" y "x₂=2", analizamos la segunda derivada de la función f''(x) en dichos resultados:

$f''(0)=6(0)-6\\\\f''(0)=-6\\\\\\\\f''(2)=6(2)-6\\\\f''(2)=12-6\\\\f''(2)=6$

•Ya que sabemos cuánto vale la segunda derivada de la función en los dos puntos que sacamos, evaluamos los resultados:

$-6<0$

0 es punto máximo en x

$6>0$

2 es punto mínimo en x

•Como podemos observar, si el resultado es menor a 0, forma parte del punto máximo en las coordenadas "x", y si es mayor a 0, forma parte del punto mínimo en las cordendas "x"

•Ya que sabemos la coordenada "x" de los puntos máximo y mínimo de la función, calculamos la coordenada "y"

•esto se hace evaluando ambos puntos en la función original f(x) , ya que sabemos que "x₁" nos da el punto máximo, y "x₂" nos da el punto mínimo, no hay necesidad de evaluar esto resultados.

Punto máximo:

$f(0)=0^{3} -3(0)^{2}\\\\f(0) =0-0\\\\f(0)=0$

0 es punto máximo en y

Punto mínimo:

$f(2)= 2^{3}-3(2)^{2} \\\\f(2)=8-3(4) \\\\f(2)=8-12\\\\f(2)=-4$

-4 es punto mínimo en y

Por ende:

los extremos relativos de la función son mínimo (2, -4) y máximo (0,0), significando que tiene punto máximo en el origen

Answer 2

Respuesta:

XXX

Explicación paso a paso: