Question

Dos postes, uno de 23 pies de altura y el otro de 28 pies, están a 31 pies de distancia. Se sostienen por dos cables, conectados a una sola estaca, desde el nivel del suelo hasta la parte superior de cada poste. ¿Dónde debe colocarse la estaca, respecto al poste de menor altura, para que se use la menor cantidad de cable?​

Answer 1

Respuesta:

Hola <3

Explicación paso a paso:

Si w es la longitud del cable, tenemos, de acuerdo con la figura.

W = y + z        Ecuación primaria

En este problema, en vez de despejar y en términos de z (o viceversa), despejaremos ambos  y, z  en términos de una tercera variable x. Por el teorema de Pitágoras.

Answer 2

La estaca debe colocarse  a  14  pies con respecto al poste de menor altura, para que se use la menor cantidad de cable.

Explicación paso a paso:

Vamos a llamar    x    a la distancia donde debe colocarse la estaca, respecto al poste de menor altura. (gráfica anexa)

La función objetivo es la suma de las hipotenusas   a  y  b    que se generan con los dos trozos de cable en cada triángulo rectángulo.

La función objetivo  L  se construye por medio del teorema de Pitágoras:

$\bold{L~=~a~+~b~=~\sqrt{(23)^2~+~x^2}~+~\sqrt{(28)^2~+~(31~-~x)^2}}$

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.

 

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de L.  

$\bold{L'~=~\dfrac{x}{\sqrt{(23)^2~+~x^2}}~+~\dfrac{x~-~31}{\sqrt{(28)^2~+~(31~-~x)^2}}}$  

$\bold{L'~=~0\quad\Rightarrow\quad\dfrac{x}{\sqrt{(23)^2~+~x^2}}~+~\dfrac{x~-~31}{\sqrt{(28)^2~+~(31~-~x)^2}}~=~0\quad\Rightarrow}$

$\bold{x\sqrt{(28)^2~+~(31~-~x)^2}~+~(x~-~31)\sqrt{(23)^2~+~x^2}~=~0\quad\Rightarrow}$

$\bold{[x\sqrt{(28)^2~+~(31~-~x)^2}]^2~=~[(31~-~x)\sqrt{(23)^2~+~x^2}]^2\qquad\Rightarrow}$

$\bold{x^2[(28)^2~+~(31~-~x)^2]~=~(31~-~x)^2[(23)^2~+~x^2]\qquad\Rightarrow}$

$\bold{x^2(28)^2~+~(31~-~x)^2~x^2~=~(31~-~x)^2~(23)^2~+~x^2~(31~-~x)^2\qquad\Rightarrow}$

$\bold{x^2(28)^2~=~(31)^2~(23)^2~-~62~x~(23)^2~+~x^2~(23)^2\qquad\Rightarrow}$

$\bold{255~x^2~+~32798~x~-~508369~=~0\qquad\Rightarrow}$

$\bold{x~=~\dfrac{-(32798)~\pm~\sqrt{(32798)^2~-~4(255)(508369)}}{2(255)}~=~\dfrac{-32798~\pm~39928}{510}\qquad\Rightarrow}$

x  =  14       es la raiz positiva y, por tanto, es la única a tomar en cuenta.

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$\bold{L''~=~\dfrac{(23)^2}{\sqrt{[(23)^2~+~x^2]^3}}~+~\dfrac{(28)^2}{\sqrt{[(28)^2~+~(31~-~x)^2]^3}}}$  

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

L''(14)  >  0

x  =  14             es un mínimo de la función  L.  

La estaca debe colocarse  a  14  pies con respecto al poste de menor altura, para que se use la menor cantidad de cable.

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