Question

Resolver por medio de factorización: 8x² -2x -3 = 0

Answer 1

Respuesta:

( 2x - 1 )( 4x + 3 )

Explicación paso a paso:

El ejercicio corresponde a un trinomio de la forma: $ax^{2}+bx+c$

Para resolver este tipo de trinomios hay tres métodos:

1. Factorización del trinomio de la forma $ax^{2}+bx+c$
2. Mediante fórmula general
3. Por el Método Po-Shen-Loh

Yo utilizaré la primera, que es la más común y básica.

1.- Multiplicamos y dividimos toda la expresión con el mismo número o coeficiente que acompaña a la incógnita elevada al cuadrado.

$8(\frac{8x^{2} -2x -3}{8} )$

2.- Esto nos permitirá expresar el ejercicio de la siguiente manera:

$\frac{(8x)^{2} -2(8x) -24}{8}$  Aplicando la multiplicación: para el término al cuadrado, antes solo la "x" estaba al cuadrado, pero como multiplicamos por el mismo coeficiente, ahora ese cuadrado también lo tiene el 8, y podemos indicar con el paréntesis que ahora el cuadrado abarca a todo. El término lineal (incógnita sin cuadrado), si bien puede escribirse como $-16x$ ó $-8(2x)$, la gracia es que quede semejantemente expresado a como quedó el primer término. Por último, el término independiente sí se multiplicó.

3.- Como ocurre en el método para la factorización de un trinomio de la forma $x^{2}+bx+c$ (sin coeficiente el término cuadrático), se abren dos paréntesis multiplicándose, donde cada uno tendrá dos términos.

( _ ± _ )( _ ± _ )

4.- El primero de ellos en ambos será la raíz cuadrada del término cuadrático, o sea, 8x.

( 8x ± _ )( 8x ± _ )

5.- El signo que separará a los términos del primer paréntesis es el que tenga el término lineal, y en el segundo paréntesis será la multiplicación de éste con el signo del término independiente.

Término lineal: - 2(8x) Término independiente: - 24 Multiplicación: ( - )( - )= +

( 8x - _ )( 8x + _ )

6.- Para los segundos términos de los paréntesis se buscaran dos números que sumados den el coeficiente del término lineal (en el caso de este tipo de factorización se considera al número fuera del paréntesis), y multiplicados resulten el término independiente.

Coeficiente del término lineal: 2  Término independiente: - 24

Dos # sumados:  ( _ ) + ( _ )= 2      Dos # multiplicados:  ( _ )( _ )= - 24    

Los números que satisfacen estas condiciones son el - 4 y el 6. Si fueran del mismo signo, en el primer paréntesis iría el mayor de ellos.

( - 4 ) + ( 6 )= 2     &     ( - 4 )( 6 )= - 24  

O sea, los paréntesis quedarían así:  ( 8x - 4 )( 8x + 6 )

La expresión que tendríamos hasta ahora:  $\frac{(8x-4)(8x+6)}{8}$

7.- Para deshacernos del denominador, efectuamos la división que indica, pero solamente a uno de los dos paréntesis (el porqué de esto todavía no lo sé, pero es así).

En la mayoría de los casos podremos hacer la división directamente, pero habrá ocasiones, como en esta, donde ninguno pueda dividirse directamente con el denominador. Para estos casos, lo descomponemos en sus factores primos, mediante una tabla de factores primos. Como aquí la interfaz no permite poner una, se dirá que 8 = 2 · 2 · 2  ó  4 · 2  ó  $2^{3}$

Reemplazamos el denominador por sus factores primos, expresados de la forma que más convenga para la división:

$\frac{(8x-4)(8x+6)}{(4)(2)}$  La división se efectúa, con cada factor dividiendo a uno de los paréntesis, al que pueda directamente. Aquí será el cuatro al primero, y el dos al segundo.

Resultado: ( 2x - 1 )( 4x + 3 )  La cual es la factorización del ejercicio.

Comprobación: para corroborar que la factorización sea correcta, vamos a realizar el producto que indica. Su resultado tendrá que ser el trinomio del que partimos para realizar la factorización, es decir, $8x^{2} -2x-3$.

( 2x - 1 )( 4x + 3 ) = $8x^{2}+6x-4x-3$   Reduciendo términos semejantes:

$8x^{2} -2x-3$  Se puede apreciar, entonces, que la factorización es correcta.