Question

como calculo las raices de este polinomio $p(x)= 8 x^{4} +10 x^{3} +20 x^{2} +40x-48$ ?
el polinomio original era de grado 6, ya encontre dos raices con ruffini, pero no se como calcular las otras, segun la regla de descarte me falta una real positiva, una real negativa, y y dos complejas, ayudaa :(

Answer 1

p(x)= 8x^4+10x³+20x²+40x-48 = 2(4x^4+5x³+10x²+20x-24)

Divisores del termino independiente: {±1,±2,±3,±4,±6,±8,±12,±24}

Aplico Ruffini

    4     5     10     20     -24

-2       -8      6     -32     24
    4    -3     16    -12      0

p(x) = (x+2)(4x³-3x²+16x-12)




4x³-3x²+16x-12

Divisores del término independiente: {±1,±2,±3,±4,±6,±12}

En este polinomio al intentar aplicar Ruffini con esos divisores no nos da resto 0, eso significa que la raíz es una raíz real no entera.
Para encontrar la raíz, dividimos los divisores del término independiente por los divisores del termino con mayor grado.

Divisores del termino independiente: {±1,±2,±3,±4,±6,±12}
Divisores del termino con mayor grado: {±1,±2,±4}
Posibles raíces: {±1/2,±1/4,±2/4,±3/2,±3/4,±6/4}

Aplico Ruffini:

      4      -3      16      -12

3/4          3       0        12
      4       0      16        0


p(x) = (x+2)(x-3/4)(4x²+16)




4x²+16 = 0
4x² = -16
x² = -16/4
x² = -4
x = ±√-4 ----- √-4 = √4 * √-1 = 2i   <--- Siempre la √-1 = i
x = ±2i



Entonces:

p(x) = 8x^4+10x³+20x²+40x-48 = (x+2)(x-3/4)(2x-2i)(2x+2i)


Saludos desde Argentina.