En una regata participaron dos tipos de embarcaciones, embarcaciones con una única persona a bordo y embarcaciones con dos tripulantes. Si, en total, hubo 96 embarcaciones y 160 participantes, ¿cuántas embarcaciones de cada tipo participaron?
Respuestas
Respuesta:
Hay 32 embarcaciones de una persona, y 64 embarcaciones de dos personas.
Explicación paso a paso:
El ejercicio corresponde al enunciado de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 2x2.
"x" serán las embarcaciones de una persona
"y" serán las embarcaciones de dos personas
Hay que tener claro que, si bien una habla de tener un tripulante y la otra de dos, en realidad ambas están referidas a una sola unidad, porque va de embarcación en embarcación.
Planteamos las ecuaciones:
x + y = 96 En esta ecuación se está diciendo: "un cierto número de embarcaciones de una persona más un cierto número de embarcaciones de dos personas suman 96". Aquí lo de "de una persona" o "de dos personas" no afecta. Solo son las características que diferencian unas de otras, es como si dijera "zapatos rojos" y "zapatos azules". Son adjetivos.
x + 2y = 160 En esta ecuación, a diferencia de la anterior, ya no estamos hablando propiamente de las embarcaciones, sino de las personas que contiene cada una que se corresponden con la igualdad de 160. Lo que sucede es que estamos poniendo a los participantes en términos de las embarcaciones. ¿Qué significa esto? Que como sabemos que las embarcaciones "x" solo tienen un participante, podemos identificar la identidad de la unidad del barco con la unidad del participante que lo aborda. Mientras que para "y" hacemos lo mismo, solo que como sabemos que "y" represente la unidad de una (1) embarcación, para identificarlo con el número de sus tripulantes debemos multiplicarla por el doble (2), ya que en esas embarcaciones van dos personas. Se leería: "un cierto número de participantes (identificados con la misma "x" por su valor unitario) más otro cierto número de tripulantes por dos (se identifican con "y", mediante el arreglo de multiplicarla por dos para cambiar el valor unitario de la embarcación a las dos unidades de los participantes) suman 160".
x + y = 96
x + 2y = 160
Para resolver este sistema podemos utilizar cualquiera de los métodos disponibles. En este caso, veo más fácil el método de suma y resta.
La primera ecuación la multiplicamos por - 1: (x + y = 96) - 1
Ahora sumamos ambas ecuaciones verticalmente:
- x - y = - 96
x + 2y = 160
Dándonos como resultado: y = 64
Despejamos la otra incógnita, "x" de cualquiera de las ecuaciones originales: x = 96 - y
Y sustituimos el valor encontrado para "y" en dicho despeje:
x = 96 - 64 ∴ x = 32
Así, el número de embarcaciones de una persona ("x") fue de 32, y el número de embarcaciones de dos personas ("y") que participaron fueron 64. Podrías preguntarte, ¿pero cómo saqué el número de embarcaciones, si la segunda ecuación se refiere a los participantes? Esto es porque pusimos a los participantes en términos de las embarcaciones, o sea, las incógnitas que representaban a los barcos de cada tipo las identificamos, a su vez, con las que representarían a los participantes. Esto gracias a que entre las variables independientes (los barcos) siempre existe una relación proporcional entre las dependientes (los participantes).
Para dejarlo claro: en la ecuación donde se relacionan las variables independientes, el enunciado de la proporción que las acompaña es un mero adjetivo, mientras que en la otra ecuación donde relacionamos las variables dependientes, lo hacemos en términos (o en función) de las independientes para obtener alguna de ellas. Esto último en virtud de que dicho enunciado, que antes solo era adjetivo, en esta nos reveló la proporción numérica en la que debemos colocar las dependientes con respecto a las independientes.
Sino supiéramos estas proporciones, no hallaríamos valores coherentes.
Para resumírtelo en un truco: para una de las ecuaciones, el enunciado que acompaña a las variables solo es un adjetivo, y en la otra es la pauta para poner las dependientes en términos de las independientes, hallando así el valor de estas últimas. Esta lógica la puedes aplicar a cualquier ejercicio similar, como de cabezas o patas de animales de granja, etcétera: donde existan unas variables que son dependientes de otras, y el ejercicio solo te proporcione el cómo se relacionan las dependientes y las independientes entre sí mismas.