Question

Se tiene un triángulo ABC en donde dos de sus lados mide 2m y 3m, el ángulo que formar es de 60 grados. ¿Cuánto mide el tercer lado?
Seleccione una:
a. 5
b. 2,33
c. 7
d. 2,64

Answer 1

El tercer lado del triángulo mide aproximadamente 2,64 metros

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}}$

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo

Hallando la longitud del lado faltante

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\textsf{Quitamos las unidades para faciltaci\'on }$

$\boxed {\bold { c^{2} = 2^{2} + 3^{2} - 2 \ . \ 2 \ . \ 3 \ . \ cos(60\° ) }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 4 + 9 - 12\ . \ cos(60\° ) }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 13 - 12\ . \ 0,5 }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 13 - 6 }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 7 }}}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c^{2} } = \sqrt{7} }}}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{7} }}}$

$\large\boxed {\bold { c \approx \ 2,64 \ metros }}}$