Encontrar las dimensiones de un triangulo rectangulo cuya superficie es de 24m² y perimetro 24m
Respuestas
Respuesta:
La hipotenusa del triángulo mide 11m, uno de los catetos 2.228 m y el otro cateto 10.772 m
Explicación paso a paso:
Se pueden obtener 3 ecuaciones del enunciado:
- Primera ecuación:
La superficie (o área) de un triángulo es la base * la altura. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos coincide con la altura. Es decir:
A * B = 24
- Segunda ecuación:
El perímetro es la suma de los 3 lados del triángulo, es decir, es la suma de la hipotenusa y de los dos catetos:
H + A + B = 24 --> A+B = 24-H
- Tercera ecuación:
Por último, sabemos que en un triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras:
H^2 = A^2 + B^2
Si la segunda ecuación la elevamos al cuadrado, tendremos:
(A+B)^2 = (24-H)^2
A^2 + B^2 + 2AB = 24^2 + H^2 - 2*24*H
Sabemos A^2+B^2 es H^2, tal y como indicamos en la tercera ecuación. De manera que:
H^2 + 2AB = 576 + H^2 - 48H
H^2 + 2AB - H^2 = 576 - 48H
2AB = 576 - 48H
Por la primera ecuación sabemos que A*B = 24, por tanto 2AB = 2*24 = 48, por lo que sustituimos dicho valor:
48 = 576 - 48 H
48 - 576 = -48 H
-528 = -48H
H = -528/-48 = 11
Una vez que tenemos el valor de la hipotenusa, lo sustituimos en la segunda ecuación:
A+B = 24-H = 24-11 = 13
De manera que finalmente nos queda un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
A + B = 13
A * B = 24
A partir de la primera ecuación de este sistema, expresamos A en función de B:
A = 13 - B
Y sustituimos en la segunda ecuación de este sistema:
(13-B) * B = 24
13B - B^2 = 24
-B^2 + 13B - 24 = 0
Utilizamos la fórmula de las ecuaciones de segundo grado (la adjunto) para obtener los posibles valores del cateto:
B = (-13 +- Raiz (13^2 - 4*(-1)*(-24))) / 2*(-1)
B = (-13 +- Raiz(13^2 - 96)) / -2
B = (-13 +- Raiz(73)) / -2
El cateto B puede tomar 2 valores:
B = (-13 + Raiz(73)) / -2 = 2.228 m
B = (-13 - Raiz(73)) / -2 = 10.772 m
Dado que A = 13 - B, A puede tomar los valores:
A = 13 - 2.228 = 10.772m
A = 13 - 10.772 = 2.228m
Es decir, un cateto vale 10.772m y el otro vale 2.228, independientemente de cuál sea A y cuál sea B.
