Question

Hallar la ecuacion de la parabola qie pasa por los puntos (-1,3), (3,4) y (3,5)

Answer 1

Como pasa por los puntos (3,4) y (3,5) sabes que es una parábola horizontal, entonces sería de la forma:
$(y-k)^2=4p(x-h)$

Ahora sustituyes los valores de los puntos que te dan en la ecuación de la parábola:
$(4-k)^2=4p(3-h)\\(5-k)^2=4p(3-h)\\\\ \to(4-k)^2=(5-k)^2\\16-8k+k^2=25-10k+k^2\\10k-8k=25-16\\2k=9\\k=9/2 \\ \\ Sustituyes\ (-1,3)\\(3-9/2)^2=4p(-1-h) \\ 9/4=4p(-1-h) \\ 9=16p(-1-h)\\ \\ (5-k)^2=4p(3-h) \\ (5-9/2)^2=4p(3-h) \\ 1/4=4p(3-h) \\ 1=16p(3-h)$

Resuelves tu sistema de ecuaciones:
9 = 16p(-1 - h)
1 = 16p(3 - h)

9 = -16p - 16ph
1 = 48p - 16ph

9 - 1 = -16p - 16ph - (48p - 16ph)
8 = -16p - 48p - 16ph + 16ph
8 = -64p
8/(-64) = -1/8 = p
p = -1/8

1 = 16p(3 - h)
1 = 16(-1/8)(3 - h)
1 = -2(3 - h) = -6 + 2h
1 + 6 = 2h
h = 7/2

Entonces la ecuación de la parábola es:
$(y-k)^2=4p(x-h)\\(y-9/2)^2=4(-1/8)(x-7/2) \\\boxed{(y-9/2)^2=- \frac{1}{2} (x-7/2)}$

Saludos!