Cual es la área de un terreno con la forma de un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es de 10 y el perímetro de 24
Respuestas
Respuesta:El área del terreno en forma de triángulo rectángulo es de 24 metros cuadrados
Procedimiento:
Se pide hallar el área de un terreno en forma de triángulo rectángulo dada su hipotenusa y su perímetro
Solución
Tomamos la notación habitual en los triángulos rectángulos y denotamos como a y b a los catetos y c a la hipotenusa.
En este ejercicio conocemos la hipotenusa y el perímetro al que llamaremos p
Donde nos falta determinar las longitudes de los catetos,
Luego si el área de un triángulo rectángulo está dada por
Sabemos que el perímetro es la suma de los lados
Y que en todo triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras
En la primera ecuación como no conocemos el valor de los catetos, pero sí el de perímetro y el de la hipotenusa
Podemos reescribirla como
Luego
Vemos que el cuadrado de la suma aparece sumando el producto, el cual es proporcional al área
Por el Teorema de Pitágoras
Donde la suma de cuadrados que vimos antes, por el Teorema de Pitágoras es el cuadrado de la hipotenusa
Por lo tanto
Reemplazamos los valores dados del perímetro y de la hipotenusa para hallar el área
Solución alternativa
Hallando los catetos para calcular el área
En la primera ecuación
Reemplazamos en la segunda y la igualamos a 0
Obteniendo una ecuación de segundo grado
Donde conocemos la hipotenusa y el perímetro
Reemplazamos
Al ser una ecuación cuadrática tiene dos soluciones para a, en donde se toman ambas -una para cada cateto-, dado que la notación es arbitraria
Factorizando tenemos
Siendo las dos soluciones posibles
Conociendo el valor de los catetos se calcula el área