una ventana de forma parabólica de 80 cm de ancho por 40 cm de altura Se le quiere hacer pasar una caja de 40 cm de ancho cuál debe ser la altura máxima de la caja para que pueda pasar por la ventana
Respuestas
30 cm debe ser la altura máxima de la caja para que pueda pasar por la ventana.
Explicación paso a paso:
Vamos a suponer que la parábola abre hacia abajo y que su vértice se encuentra sobre el eje y a 40 cm del lado inferior de la ventana, que coincide con el eje x. De esta forma podemos ubicar el origen de coordenadas en el centro del lado inferior de la ventana.
Aplicaremos la ecuación canónica de una Parábola de eje vertical:
(x - h)² = ±4p(y - k)
donde
(h, k) = (0, 40) son las coordenadas del vértice.
p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.
Dado que la base de la ventana tiene 80 cm de ancho y el vértice está en el centro de esa base, significa que la parábola pasa por los puntos: (-40, 0) y (40, 0)
Parábola de eje vertical con: h = 0 k = 40 pasa por x = 40 y = 0
Ecuación: (40 - (0))² = -4p(0 - (40)) ⇒ p = 10
La distancia del vértice al foco es p = 10 cm medidos sobre el eje de la parábola. Este eje coincide con el eje y; así que el foco tiene coordenada (0, 30), pues el vértice es el (0, 40).
La ecuación de la parábola será:
Ecuación: (x - (0))² = -4(10)(y - (40)) ⇒ x² = -40y + 1600
Ahora bien, para que una caja de 40 cm de ancho pase por la ventana, debemos pasarla de forma tal que el centro de su base pase por el centro de la base de la ventana; es decir, los extremos de la base de la caja pasarán por los puntos (-20, 0) y (20, 0)
Vamos a evaluar la parábola en uno de esos puntos y obtenemos el valor de y que sería el valor de la altura de la caja.
(20)² = -40y + 1600 ⇒ y = 30
30 cm debe ser la altura máxima de la caja para que pueda pasar por la ventana.