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Respuesta:
Kepler, como todo científico, buscaba modelos matemáticos que pudieran explicar y predecir el comportamiento de su objeto de estudio. Luego de diez años del planteamiento de la segunda ley, encontró que el período de un planeta y su órbita estaban relacionados de la siguiente manera:
Los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas son proporcionales a los cubos de su distancia promedio al Sol, es decir:
\Large \dfrac{T^2}{R^3}=K
R
3
T
2
=Kstart fraction, T, squared, divided by, R, cubed, end fraction, equals, K
Esto quiere decir que para dos planetas (planeta 1 y planeta 2) orbitando una estrella, tenemos:
\Large \dfrac{T_1^2}{R_1^3} = \dfrac{T_2^2}{R_2^3}
R
1
3
T
1
2
=
R
2
3
T
2
2
start fraction, T, start subscript, 1, end subscript, squared, divided by, R, start subscript, 1, end subscript, cubed, end fraction, equals, start fraction, T, start subscript, 2, end subscript, squared, divided by, R, start subscript, 2, end subscript, cubed, end fraction
Esta misma ecuación puede expresarse de la siguiente manera:
\Large \dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \dfrac{R_1^3}{R_2^3}
T
2
2
T
1
2
=
R
2
3
R
1
3
start fraction, T, start subscript, 1, end subscript, squared, divided by, T, start subscript, 2, end subscript, squared, end fraction, equals, start fraction, R, start subscript, 1, end subscript, cubed, divided by, R, start subscript, 2, end subscript, cubed, end fraction
Las leyes de Kepler se aplican no solo a los planetas, sino a todo satélite que orbite alrededor de cualquier cuerpo celeste.
Aplicaciones
Las leyes de Kepler nos ayudan a predecir el comportamiento de cuerpos celestes que orbitan otros cuerpos mayores.
Por ejemplo, la Luna orbita la Tierra con un periodo de 27.3 días, y su distancia promedio es de 3.84 \times 10^8\text { m}3.84×10
8
m3, point, 84, times, 10, start superscript, 8, end superscript, start text, space, m, end text hasta el centro de la Tierra. Si el radio de la Tierra es 6380\text{ km}6380 km6380, start text, space, k, m, end text, ¿Podemos calcular el período de un satélite artificial que orbita a una altitud promedio de 1,500\text{ m}1,500 m1, comma, 500, start text, space, m, end text por encima de la superficie de nuestro planea?
¡La respuesta es sí!
Tenemos como datos:
R_lR
l
R, start subscript, l, end subscript=3.84 \times 10^8\text { m}=3.84 \times 10^5\text { km}3.84×10
8
m=3.84×10
5
km3, point, 84, times, 10, start superscript, 8, end superscript, start text, space, m, end text, equals, 3, point, 84, times, 10, start superscript, 5, end superscript, start text, space, k, m, end text
T_lT
l
T, start subscript, l, end subscript= 27.3\text{ d}=655.2 \text{ h}27.3 d=655.2 h27, point, 3, start text, space, d, end text, equals, 655, point, 2, start text, space, h, end text
R_sR
s
R, start subscript, s, end subscript= 1500+6380=880\text{ km}1500+6380=880 km1500, plus, 6380, equals, 880, start text, space, k, m, end text
Y nos están pidiendo T_sT
s
T, start subscript, s, end subscript.
Según la tercera ley de Kepler, se cumple que:
\dfrac{T_l^2}{T_s^2} = \dfrac{R_l^3}{R_s^3}
T
s
2
T
l
2
=
R
s
3
R
l
3
start fraction, T, start subscript, l, end subscript, squared, divided by, T, start subscript, s, end subscript, squared, end fraction, equals, start fraction, R, start subscript, l, end subscript, cubed, divided by, R, start subscript, s, end subscript, cubed, end fraction
Reemplazando:
\begin{aligned} \dfrac{(655.2)^2}{T_s^2}&= \dfrac{(3.84 \times 10^5)^3}{(7880)^3}\\\\ T_s^2&=(655.2)^2\dfrac{(7880)^3}{(3.84 \times 10^5)^3}\\\\ T_s&=(655.2)\sqrt{\dfrac{(7880)^3}{(3.84 \times 10^5)^3}}\\\\ T_s &= 1.93\text{ h}\end{aligned}
T
s
2
(655.2)
2
T
s
2
T
s
T
s
=
(7880)
3
(3.84×10
5
)
3
=(655.2)
2
(3.84×10
5
)
3
(7880)
3
=(655.2)
(3.84×10
5
)
3
(7880)
3
=1.93 h
El satélite tendrá un periodo de 1.93 horas a una altura de 1500\text{ km}1500 km1500, start text, space, k, m, end text sobre la superficie terrestre.