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Concepto de volumen y capacidad
Recordemos que espacio geométrico es el conjunto de todos los puntos del universo.
En la gráfica observamos un diagrama de una mesa circular con patas de forma cónica. La forma de elipse nos sugiere la idea de posición de la mesa en el espacio geométrico.
Los puntos P y Q se encuentran situados encima y debajo de la superficie de la mesa. El plano que contiene esta superficie divide al espacio geométrico en dos semiespacios. En general todo plano divide al espacio en dos semiespacios. Muchas figuras geométricas no tienen todos sus puntos en un mismo plano. Por ejemplo las patas de forma cónica de la mesa tienen su base en el plano inferior de la superficie de la mesa y su vértice en el plano que contiene la superficie del piso. Estos dos planos son paralelos.
Las figuras geométricas que no tienen todos sus puntos en un mismo plano son llamadas tridimensionales, poliedros, sólidos o cuerpos geométricos.
Los ejemplos más importantes de estas figuras son: el prisma, el cilindro, la pirámide,el cono y la esfera.
Para medir la cantidad de espacio ocupado por figuras tridimensionales, se usan las medidas de volumen y capacidad.
Volumen y capacidad son términos generalmente intercambiables cuando de medidas se trata, aunque conviene diferenciar:
Volumen es la cantidad de espacio ocupado por una figura tridimensional.
Si en un cilindro recto, la altura h se reduce a su mitad, se obtienen dos cilindros equivalentes; es decir, sus volúmenes se reducen a la midad.
Entonces el volumen de un cilindro depende del área de su base y de su altura.
Si llamamos Vc el volumen del cilindro, A el área de su base y h su altura, entonces: Vc = A X h.
Si se considera r el radio de la base del cilindro, entonces: Vc = π . r2 . h
C. Volumen de la pirámide
La pirámides de bases iguales y alturas iguales tienen volúmenes iguales.
Si como se procedió con el cilindro recto formado por cartulinas circulares, procedemos con una pirámide cuadrada regular, obtenemos una nueva pirámide no regular, pero que conserva constante el área de su base y su altura. Además es claro que el volumen río ha cambiado. Esto nos sugiere la siguiente propiedad:
La pirámides de bases iguales y alturas iguales tienen volúmenes iguales.
Las pirámides de igual volumen se dicen equivalentes.
En general dos sólidos de igual volumen se llaman sólidos equivalentes.
El prisma recto ABCDEF es regular. Es decir que los triángulos ABC y DEF son equiláteros.
Las pirámides A-DEF y D-ABE y D-ABC tienen sumados un volumen equivalente al del prisma como se observa en el diagrama anterior.
Con la hipótesis de que el volumen de una pirámide depende del área de su base y de su altura podemos demostrar que las tres pirámides mencionadas son equivalentes.
Demostración:
1) Δ DEF ≈ Δ ABC por ser bases del mismo prisma, entonces las áreas de los triángulos Δ DEF y Δ ABC son iguales. Además: AF ≈ DC por ser aristas del prisma, entonces AF = DC (segmentos de igual longitud).
De lo anterior se concluye que las pirámides:
A-DEF y D-ABC tienen bases iguales y alturas iguales. Es decir que son equivalentes.
2) Δ BCD ≈ Δ BDE por ser triángulos rectángulos de catetos congruentes (BE ≈ CD y ED ≈ BC), entonces las áreas de los triángulos son iguales.
Además las pirámides A-BCD y A-BDE tienen la misma altura porque su vértice es el mismo punto A y sus bases son coplanares (pertenecen al plano determinado por la cara del prisma BCDE).
Concluimos entonces que las pirámides A-BCD y A-BDE son equivalentes.
Las conclusiones de 1º y 2º nos demuestran la equivalencia de las tres pirámides.
Como consecuencia de lo demostrado se obtiene la propiedad.
El volumen de una pirámide es igual a 1/3 del volumen del prisma de igual base y altura.
Si llamamos Vpe, el volumen de la pirámide, A su área y h su altura, entonces:
Explicación: