Question

Calcula la altura máxima que puede tener un autobús de 2.4 metros (m)de ancho para que pase sin problemas por el centro de un túnel que tiene la forma de arco parabólico. La altura del túnel es de 5 m y el largo de 6 m.

Answer 1

Suponga que el túnel parabólico se traza en un plano cartesiano, donde el vértice está en el origen (0,0)

Ecuacion de una parábola

${(x - h)}^{2} = 4p(y - k)$

Con h y k las coordenadas del vértice, como en este caso es el origen queda así

${x}^{2} = 4py$

Remplazando los valores de 5m de ancho (x) y 6 m de alto (y) obtenemos p

${5}^{2} = 4p \times 6 \\ 25 = 24p \\ \frac{25}{24} = p$

Re escribimos nuestra fórmula

${x}^{2} = \frac{25y}{24}$

Remplazamos el ancho del bus, para saber su altura máxima , el ancho es 2.4 metros (x)

${(2.4)}^{2} = \frac{25y}{24} \\ \\ {( \frac{12}{5}) }^{2} \times \frac{24}{25} = y \\ \\ \frac{144}{25} \times \frac{24}{25} = y \\ \\ \frac{3456}{625} = y \\ \\ y = 5.5296metros$

RESPUESTA EL BUS PUEDE TERNER MAXIMO 5.5296 METROS DE ALTO

Answer 2

Respuesta:

y= 4.2

Explicación paso a paso:

Como el puente mide de altura 5m, el Autobús no debe medir mas de 5m de alto para poder pasar

(x-h)²=4p(y-k) es la formula de una parábola vertical pero como se abre hacia abajo entonces queda:

(x-h)²=-4p(y-k)

Tenemos que el Vértice es V(0,5)

y como el ancho del puente es 6, se divide en el origen en 2 puntos: P1(-3,0) y P2(3,0)

vamos a sustituir V(0,5) que seria (h,k):

(x-0)²=-4p(y-5). --> x²=-4p(y-5)

con esa formula vamos a sustituir cualquiera de los dos puntos, usemos P1(-3,0) que seria (x,y):

(-3)²=-4p(0-5) --> 9=-4p(-5) -->

(-5) esta multiplicando, pasa dividiendo con su signo igual:

-4p= 9/-5

sustituimos el valor de -4p y los valores de V(h,k):

x²=-9/5(y-5)

Esa va a ser nuestra formula, ahora solo sustituimos x=1.2 {el camión mide 2.4 de ancho, como se divide en el origen en 2 queda P1(-1.2,0) y P2(1.2,0)}, podemos usar P1 o P2

(-1.2)²= -9/5(y-5)

1.44=-9/5y + 9

pasa restando 9

-9/5y= 1.44 - 9

pasa dividiendo el -9/5 con su signo igual

y= -7.56/-9/5

y= 21/5

y=4.2 <== RESPUESTA

puedes comprobar sustituyendo x=1.2 y Y= 4.2 en la formula x²=-9/5(y-5)

adjunto una gráfica para que se den una idea del análisis de los anchos y las alturas