Question

Un arco parabólico tiene 18 metros de altura en su centro y 24 metros de base. Hallar la altura de un punto que se encuentra sobre el arco a 10 metros del eje de simetría de este.

Answer 1

Tienes lo siguiente:
La ecuación de una parábola vertical con vértice en el punto (h,k) es:
$(x-h)^2=4p(y-k)$

En este caso supondré que el vértice está en (0,18), entonces la ecuación sería:
$x^2=4p(y-18)$

Cuando x = 12 la altura sería igual a 0 porque es la base del arco:
$x^2=4p(y-18)\\12^2=4p(0-18) \\ 144=-72p \\ p=144/(-72)=-2$

Entonces la ecuación de la parábola vertical cuya base está en el eje x y su vértice está en el punto (0,18) es:
$x^2=4(-2)(y-18) \\ x^2=-8(y-18)$

Para hallar la altura de un punto que se encuentra sobre el arco a 10 metros debes sustituir x = 10 en la ecuación:
$10^2=-8(y-18) \\ 100=-8y+144 \\ 100-144=-8y \\ -44=-8y \\ y=44/8=5.5$

La altura es 5.5 metros

Saludos!

Answer 2

La altura de un punto que se encuentra sobre el arco parabólico a  10  metros del eje de simetría de este es de  5,5  metros.

Explicación paso a paso:

Una parábola de eje vertical tiene por ecuación canónica:

(x  -  h)²  =  ± 4p (y  -  k)

donde:  

(h, k)    vértice de la parábola

p    distancia vértice foco o vértice directriz medida sobre el eje

Si la parábola de nuestro problema la ubicamos de forma tal que el eje de las ordenadas  (y)  coincida con el eje de la parábola, entonces  (ver gráfica anexa)

(h, k)  =  (0, 18)      la parábola pasa por los puntos   (-12, 0) y (12, 0)

Sustituimos en la ecuación canónica para hallar el valor de   p  (recordando que el signo es negativo pues la parábola abre en sentido negativo)

[(12)  -  (0)]²  =  - 4p [(0)  -  (18)]           ⇒          p  =  2

La ecuación canónica de la parábola es:

(x  -  0)²  =  - 4(2) (y  -  18)           ⇒          x²  =  144  -  8y

El punto buscado tiene coordenada  x  =  10,  así que sustituimos en la ecuación de la parábola y hallamos la coordenada  y  o altura del punto.

(10)²  =  144  -  8y           ⇒          y  =  11/2  =  5,5  m

La altura de un punto que se encuentra sobre el arco parabólico a  10  metros del eje de simetría de este es de  5,5  metros.

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