Question

quien me puede explicar la Laplace paso a paso para este ejercicio y´´-6y´+13y=0 y=(0) y´(0)=-3

Answer 1

es simple, necesitas primero utilizar esta formula:
L{F^n (t)} =s^n * F(s) - s^n-1 * F´(0) ...          (L es el signo de laplace)

De ahi pasas tu ecuacion a la forma:
L{ d^2y / dt^2} - 6L{ dy / dt} + 13L {y} = L{0}

Con la formula generas los valores de s respecto a las derivadas de y:
L{y}= y(s)
L{dy / dt}= s* y(s) - 1* F(0) - y(0)= (aqui pones el valor de y(0))
L{d^2y / dt^2}= s^2*y(s) -s*F(0) - 1* F´(0) = -3 (valor de y´(0) )

Ahora solo lo sustituyes en la ecuacion original y acomoda las variables de acuerdo a sus valores de y(s).

Te tiene que generar un binomio cuadrado en y(s) y una funcion (s + numero sin funcion de y(s)).

Con esto tienes dos opciones:
1°- (solo se genera si tienes un binomio cuadrado perfecto o si una de las dos funciones que lo forman es divisible con la funcion de arriba) Se crea una division de la funcion entre el binomio reducido, los divides y queda la funcion de laplace:
L^-1{1 / s+- n} y lo conviertes con las formulas de laplace: e^nt

2° te queda una funcion de fracciones parciales, el resultado lo conviertes igualmente con laplace y ese sera el resultado.

Se oye trabajoso pero es bastante facil, espero te ayude.