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Respuesta:
Demostración de ecuaciones de la parábola (no origen)
Ahora analizaremos los casos en que se puede obtener la ecuación que describe una parábola cuyo vértice no coincide con el origen del sistema de ejes coordenados.
Cuando el vértice de la parábola se localiza en cualquier punto, por convención ubicado en las coordenadas (h, k), y distinto al origen, la ecuación que describe a la parábola cambia en función de la posición de este punto y de la orientación de apertura respecto de los ejes x e y.
Debido a estas características, también tenemos cuatro posibilidades de ecuaciones de parábolas cuyo vértice está fuera del origen del sistema de ejes coordenados.
Primera posibilidad
Que la parábola se abra hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas “X”.
Segunda posibilidad
Que la parábola se abra hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas “X”.
Tercera posibilidad
Que la parábola se abra hacia arriba (sentido positivo) del eje de las ordenadas “Y”.
Cuarta posibilidad
Que la parábola se abra hacia abajo (sentido negativo) del eje de las ordenadas “Y”.
Ecuación de la parábola dado su vértice, foco o directriz
Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el punto (3, 2) y foco en (5, 2).
Desarrollo:
Al analizar las coordenadas de vértice (3, 2) y foco (5, 2), vemos que su ordenada es común (y = 2), por lo que se concluye que están alineados horizontalmente y que el foco está a la derecha del vértice.
Según ya vimos, en este caso la ecuación que resulte tiene la forma
Siendo las coordenadas del vértice (h, k), se sustituyen en la ecuación y resulta:
En donde el parámetro p representa la distancia del vértice al foco, que podemos calcular por diferencia de las abscisas correspondientes:
p = 5 – 3
p = 2
Sustituyendo:
Queda
ecuación escrita en la forma ordinaria o canónica.
Ecuación de la parabola, dados el vértice y su directriz
Ejemplo:
Una parábola tiene vértice en el punto (- 4,2), y su directriz es y = 5, encuentre su ecuación y exprésela en la forma general.
Analizando las coordenadas del vértice y la posición de la directriz, se puede concluir que:
a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical.
b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor mayor que la ordenada del vértice, por lo tanto las ramas de la parábola se extienden en el sentido negativo del eje de las Y.
c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las del origen.
d) Dado lo anterior se trata entonces de una parábola cuya ecuación ordinaria es del tipo:
De las coordenadas del vértice se obtiene:
h = - 4
k = 2
Se obtiene p por diferencia entre las ordenadas del vértice y de la recta directriz, resultando:
p = 5 – 2
p = 3
Sustituyendo valores en la ecuación ordinaria, resulta:
Desarrollando el binomio al cuadrado
Simplificando e igualando a cero la ecuación se tiene:
Que es la ecuación buscada.
Hallar la ecuación de la parábola con foco (5,3) y directriz x=-1
Encontrando la ecuación de una parábola dado su foco y su directriz
Dado el foco y la directriz de una parábola, ¿cómo encontramos la ecuación de la parábola?
Si consideramos solamente las parábolas que abren hacia arriba o hacia abajo, entonces la directriz será una recta horizontal de la forma y = c .
Digamos que (a, b) es el foco y digamos que y = c es la directriz. Digamos que (x0, y0) es cualquier punto en la parábola.
Cualquier punto, (x0, y0) en la parábola satisface la definición de parábola, así que hay dos distancias para calcular:
1. Distancia entre el punto en la parábola al foco.
2. Distancia entre el punto en la parábola a la directriz.
Para encontrar la ecuación de la parábola, iguale esas dos expresiones y resuelva para y0 .
Encuentre la ecuación de la parábola en el ejemplo anterior.
Distancia entre el punto (x0, y0) y (a, b):
Distance entre el punto ( x0, y0) y la recta y = c :
(Aquí, la distancia entre el punto y la recta horizontal es la diferencia de sus coordenadas en y.)
Iguale las dos expresiones.
Eleve al cuadrado ambos lados.
Desarrolle la expresión en y0 en ambos lados y simplifique.
Esta ecuación en (x0, y0) es verdadera para todos los otros valores en la parábola y por lo tanto podemos reescribirla con (x, y).
Por lo tanto, la ecuación de la parábola con foco (a, b) y directriz y = c es
Ejemplo:
Si el foco de una parábola es (2, 5) y la directriz es y = 3, encuentre la ecuación de la parábola.
Digamos que ( x0, y0 ) es cualquier punto en la parábola. Encuentre la distancia entre (x0, y0) y el foco. Luego encuentre la distancia entre (x0 , y0) y la directriz. Iguale estas dos ecuaciones de distancia y la ecuación simplificada en x0 y y0 es la ecuación de la parábola.
Explicación paso a paso: