Question

Carlos compró un terreno de 320m2, considerando que el largo mide 4 metros mas que el ancho ¿Cuánto miden el largo y el ancho?

Answer 1

Las dimensiones del terreno son de 20 metros de largo y 16 metros de ancho

Solución

Se desea conocer los lados de un terreno rectangular

Del cual conocemos su área y que su largo mide 4 metros más que su ancho

Hallaremos los valores de los lados a partir de su área

Recordemos que

Un rectángulo es un polígono con cuatro lados siendo éstos iguales dos a dos. Siendo sus cuatro ángulos interiores rectos, es decir de 90°.

Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su área es el producto de sus dos lados contiguos (a y b)

Pudiendo decir

$\boxed{\bold { \'Area\ Rect\'angulo = Base \ . \ Altura }}$

Donde

Llamaremos variable x a su ancho,

$\large\textsf{Ancho = x }$

y sabiendo que el largo es 5metros mayor que el ancho será (x+4)

$\large\textsf{Largo = (x + 4) }$

Conocemos el valor del área del terreno que es de 320 m²

$\large\textsf{\'Area = 320 }\bold {m^{2}}$

Estamos en condiciones de plantear una ecuación que satisfaga al problema

$\boxed{\bold { \'Area\ Rect\'angulo = Largo \ . \ Ancho }}$

$\textsf{Quitamos unidades para facilitaci\'on }$

$\boxed {\bold { 320= {(x+4) \ . \ x }}}$

$\boxed {\bold { {(x+4) \ . \ x = 320 }}}$

$\boxed {\bold { x \ . \ x \ +\ 4x = 320 }}}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 4x = 320 }}}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 4x - 320 = 0 }}}$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

La cual se puede resolver para x

a) Por factorización

$\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 4x - 320 = 0 }}}$

$\large\textsf{Considerando la forma: } \bold {ax^{2} + bx + c}$

$\large\textsf{Hallamos un par de enteros cuyo producto sea c y su suma sea b }$

$\large\textsf{Donde el producto es -320 y la suma es 4 }$

Los números enteros son:

$\boxed{ \bold{ -16 , \ 20 }}$

$\large\textsf{Escribimos en forma factorizada empleando esos n\'umeros enteros }$

$\boxed{ \bold{(x -16 ) (x+20) = 0 }}$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a  0 , la expresión completa será igual a  0

Luego

$\boxed{ \bold{x -16 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = 16 }}$

$\boxed{ \bold{x + 20 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = -20 }}$

La solución completa son los valores que hacen  a (x-16)(x+20) = 0 verdadero

$\large\boxed{ \bold{x = 16, - 20 }}$

b) Empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =4 y c = -320 }$

$\large\textsf{Para resolver para x }$    

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -4 \pm \sqrt{ 4^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -320) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -4 \pm \sqrt{16- 4\ . \ -320 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -4 \pm \sqrt{16+ 1280 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -4 \pm \sqrt{1296 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -4 \pm \sqrt{36^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -4 \pm36 }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = -2\pm18 }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 16, - 20 }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 16 \ metros }}$

Nota: Se ha hallado el valor de la variable x por 2 métodos, en donde no es necesario que se resuelva el problema desarrollando ambos. Se han desarrollado los dos para que ustedes empleen cualquiera de ellos, o con el que se sientan más familiarizados :)

Luego

$\large\textsf{Ancho= x }$

$\large\textsf{Ancho = 16 metros }$

$\large\textsf{Largo = (x + 4) }$

$\large\textsf{Largo = (16 + 4) = 20 metros }$

Sabiendo que el área del terreno es de 320 metros cuadrados

Luego el ancho del terreno es de 16 metros y el largo de 20 metros