Question

a. Determina el módulo y el ángulo con la horizontal de los siguientes vectores:
V =(-2,4)
Z =(1,-3)​

Answer 1

EJERCICIO 1 El módulo del vector es 2√5 siendo su ángulo con la horizontal de aproximadamente 116° 33' 55''

EJERCICIO 2 El módulo del vector es √10 siendo su ángulo con la horizontal de aproximadamente 288° 26' 6''

SOLUCIÓN  

EJERCICIO 1

$\large\textsf{Dado } \large\bold { V=(-2,4) }$

Se pide hallar el módulo y el ángulo con la horizontal del vector

Determinamos el módulo del vector

$\large\boxed{ \bold{ |V|= \sqrt{( V_{x})^{2} + ( V_{y} )^{2} } } }$

$\large\textsf{Reemplazamos }$

$\boxed{ \bold{ |V|= \sqrt{( -2)^{2} + ( 4)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold{ |V|= \sqrt{ 4+ 16 } } }$

$\boxed{ \bold{ |V|= \sqrt{ 20 } } }$

$\boxed{ \bold{ |V|= \sqrt{ 4 \ . \ 5 } } }$

$\boxed{ \bold{ |V|= \sqrt{ 2^{2} \ . \ 5 } } }$

$\large\boxed{ \bold{ |V|= 2 \sqrt{ 5 } } }$

Hallamos el ángulo de dirección del vector

$\large\textsf{Para hallar el \'angulo de un vector empleamos: } { \ }$

$\boxed {\bold { \alpha = arctan \left( \frac{b}{a} \right) }}$

$\large\textsf{Donde a = -2 y b = 4 }$

$\boxed {\bold { \alpha = arctan \left( \frac{4}{-2} \right) }}$

$\boxed {\bold { \alpha = arctan ( -2) }}$

$\boxed {\bold { \alpha = -63,43494882292 ^o }}$

$\large\textsf{El \'angulo se encuentra en el segundo cuadrante } { \ }$

$\large\textsf{Abscisa negativa - Ordenada positiva + } { \ }$

$\boxed {\bold { \alpha = -63,43494882292^o }}$

Primero convertimos a grados, minutos y segundos

Tomando los enteros para los grados = -63°

Con los decimales hallamos los minutos multiplicando por 60

$\bold {0,43494882292 \ . \ 60 = 26,0969293752}$

Tomamos la parte entera para los minutos = 26' y repetimos el procedimiento para hallar los segundos con la parte decimal restante

$\bold {0,0969293752 \ . \ 60 = 5,815762512}$

Tomamos los conjuntos de números hallados en cada paso y los agrupamos empleando los símbolos de grados (°), minutos (') y segundos ('')

Obteniendo

$\boxed {\bold { \alpha = -63 ^o \ 26' \ 5,815762512'' }}$

$\textsf{Simplificamos quitando las fracciones de segundo }$

$\boxed {\bold { \alpha = -63 ^o \ 26' \ 5'' }}$

Dado que está en el segundo cuadrante empleamos el ángulo de referencia para este cuadrante

$\boxed {\bold { \alpha = -63 ^o \ 26' \ 5'' +180^o}}$

$\large\boxed {\bold { \alpha = 116^ o \ 33' \ 55'' }}$

EJERCICIO 2

$\large\textsf{Dado } \large\bold { Z=(1,-3) }$

Se pide hallar el módulo y el ángulo con la horizontal del vector

Determinamos el módulo del vector

$\large\boxed{ \bold{ |V|= \sqrt{( V_{x})^{2} + ( V_{y} )^{2} } } }$

$\large\textsf{Reemplazamos }$

$\boxed{ \bold{ |V|= \sqrt{( 1)^{2} + ( -3)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold{ |V|= \sqrt{ 1+ 9 } } }$

$\large\boxed{ \bold{ |V|= \sqrt{ 10 } } }$

Hallamos el ángulo de dirección del vector

$\large\textsf{Para hallar el \'angulo de un vector empleamos: } { \ }$

$\boxed {\bold { \beta = arctan \left( \frac{b}{a} \right) }}$

$\large\textsf{Donde a = 1 y b = -3 }$

$\boxed {\bold { \beta = arctan \left( \frac{-3}{1} \right) }}$

$\boxed {\bold { \beta = arctan ( -3) }}$

$\boxed {\bold { \beta = -71,56505117707 ^o }}$

$\large\textsf{El \'angulo se encuentra en el cuarto cuadrante } { \ }$

$\large\textsf{Abscisa positiva + Ordenada negativa - } { \ }$

Primero convertimos a grados, minutos y segundos

Tomando los enteros para los grados = -71°

Con los decimales hallamos los minutos multiplicando por 60

$\bold {0, 56505117707 \ . \ 60 = 33,9030706242}$

Tomamos la parte entera para los minutos = 33' y repetimos el procedimiento para hallar los segundos con la parte decimal restante

$\bold {0,9030706242 \ . \ 60 = 54,184237452}$

Tomamos los conjuntos de números hallados en cada paso y los agrupamos empleando los símbolos de grados (°), minutos (') y segundos ('')

Obteniendo

$\boxed {\bold { \beta = -71 ^o \ 33' \ 54,184237452'' }}$

$\textsf{Simplificamos quitando las fracciones de segundo }$

$\boxed {\bold { \beta = -71 ^o \ 33' \ 54'' }}$

Dado que está en el cuarto cuadrante empleamos el ángulo de referencia para este cuadrante

$\boxed {\bold { \beta = -71 ^o \ 33' \ 54'' +360^o}}$

$\large\boxed {\bold { \beta = 288^ o \ 26' \ 6'' }}$

Se agrega gráfico en donde se puede observar el vector del ejercicio 1 en color rojo, el el del ejercicio 2 en color celeste