Question

El número de términos de una progresión geométrica creciente es 6, la suma de todos
ellos es 364 y la diferencia entre el cuarto término y el tercero es igual al séxtuplo del segundo. ¿Cuál es el quinto término?

Answer 1

Debemos hallar el primer término y la razón de la progresión:

a4 = a1 r³

a3 = a1 r²

a4 - a3 = 6 a2; o sea:  a1 r³ - a1 r² = 6 a1 r:

Se simplifica a1; queda: r³ - r² = 6 r

Las soluciones de esta ecuación (de grado 3) son:

r = - 2, r = 0, r = 3 (razón)

La suma es 364 = a1 (3^5 - 1) / (3 - 1)

a1 = 364 . 2 / 728 = 1

El quinto término es: a5 = 1 . 3^4 = 81

Saludos Herminio

Answer 2

El valor de quinto término de una progresión geométrica creciente de 6 términos es:

81

¿Qué es una progresión?

Una progresión es una sucesión con características distintivas.

Una progresión geométrica es un tipo de sucesión que se caracteriza porque cada término se obtiene multiplicando el anterior término por una constante r.

aₙ = a₁ • rⁿ⁻¹

La suma de los n-términos de una progresión geométrica es:

$S_n=\frac{a_1(r^{n} -1)}{r-1}$

¿Cuál es el quinto término?

Datos:

• S₆ = 364
• a₄ - a₃ = 6a₂

Siendo;

• a₂ = a₁ · r
• a₃ = a₁ · r²
• a₄ = a₁ ·  r³

Sustituir;

a₁ ·  r³ - a₁ · r² = 6(a₁ · r)

a₁ · r²(r - 1) = (a₁ · r)

(r - 1) = 6(a₁ · r)/(a₁ · r²)

r - 1 = 6/r

r² - r - 6 = 0

Aplicar la resolvente;

$r_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1^{2}-4(-6)}}{2}\\\\r_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{250}}{2}\\\\r_{1,2}=\frac{6\pm5}{2}$

r₁ = 3

r₂ = -1/2

Sustituir;

364 = a₁ [(3)⁶ - 1]/(3-1)

a₁ = 364(2/728)

a₁ = 1

Sustituir;

a₅ = 1 · (3)⁴

a₅ = 81

Puedes ver más sobre progresión geométrica aquí: https://brainly.lat/tarea/58885731

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