Question

UN TOPÓGRAFO MIDE LOS TRES LADOS DE UN CAMPO TRIANGULAR Y OBTIENE 115, 176 Y 247 METROS. ¿CUÁNTO MIDE EL MAYOR ÁNGULO DEL TRIÁNGULO?

Answer 1

El mayor ángulo del triángulo mide aproximadamente 114,533°

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}}$

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo                                              

Solución

Hallando el ángulo A

Por el teorema del coseno podemos expresar              

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \ . \ b \ . \ c \ } }}}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\textsf{Quitamos las unidades para faciltaci\'on }$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{115^{2} + 176^{2} - 247^{2} }{2 \ . \ 115 \ . \ 176 \ } }}}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{13225 + 30976 - 61009 }{40480 } }}}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{- 16808 }{40480 } }}}$

$\boxed {\bold {cos(A )= -\frac{ 16808 }{40480 } }}}$

$\boxed {\bold {cos(A )= -0,4152173913043 }}}$

Aplicamos la inversa del coseno para hallar el ángulo

$\boxed {\bold {A=arccos( -0,4152173913043) }}}$

$\boxed {\bold {A = 114,533007\° }}}$

$\large\boxed {\bold {A \approx 114,533\° }}}$                                  

Hallando el ángulo B

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2} }{2 \ . \ a \ . \ c \ } }}}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\textsf{Quitamos las unidades para faciltaci\'on }$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{247^{2} + 176^{2} - 115^{2} }{2 \ . \ 247 \ . \ 176 \ } }}}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{61009 + 309976 - 13225 }{86944 } }}}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ 78760 }{86944 } }}}$

$\boxed {\bold {cos(B )= 0,9058704453441 }}}$

Aplicamos la inversa del coseno para hallar el ángulo

$\boxed {\bold {B=arccos( 0,9058704453441 ) }}}$

$\boxed {\bold {B = 25,0592262\° }}}$

$\large\boxed {\bold {B \approx 25,059\° }}}$

Hallando el ángulo C

Como la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Como ya conocemos dos de los ángulos del campo triangular, vamos a hallar el tercero

Planteando

$\boxed {\bold {180\°= A +B +C }}}$

$\boxed {\bold {180\°= 114,533\° +25,059\° +C }}}$

$\boxed {\bold {C= 180\°-114,533\° -25,059\° }}}$

$\large\boxed {\bold {C \approx 40,408\° }}}$

Se agrega un gráfico para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteada