Asignatura: Matemáticas
Autor: nicol24511
hace 5 años

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Daniel va a pintar la cancha de fútbol de su plantel y se sabe que tiene una Rea de 4500m2. Si su largo mide 40 metros más que su ancho ¿Cuanto miden los lados de la cancha de fútbol?

Respuestas

Respuesta dada por: arkyta

Los lados de la cancha de fútbol son de 50 metros de ancho y de 90 metros de largo

Solución

Se desea saber los lados de una cancha de fútbol rectangular

Del cual conocemos su área y que su largo mide 40 metros más que su ancho

Hallaremos los valores de los lados a partir de su área

Recordemos que

Un rectángulo es un polígono con cuatro lados siendo éstos iguales dos a dos. Siendo sus cuatro ángulos interiores rectos, es decir de 90°.

Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su área es el producto de sus dos lados contiguos (a y b)

Pudiendo decir

$\boxed {\bold { Area = Largo\ . \ Ancho }}$

Donde

Llamaremos variable x a su ancho,

$\large\textsf{Ancho = x }$

y sabiendo que el largo es 40 metros mayor que el ancho será (x+40)

$\large\textsf{Largo = (x + 40) }$

Conocemos el valor del área del rectángulo que es de 4500 m²

$\large\textsf{\'Area = 4500 }\bold {m^{2}}$

Estamos en condiciones de plantear una ecuación que satisfaga al problema

$\boxed {\bold { Area = Largo\ . \ Ancho }}$

$\textsf{Quitamos unidades para facilitaci\'on }$

$\boxed {\bold { 4500= (x+40) \ . \ x }}$

$\boxed {\bold { (x+40) \ . \ x = 4500 }}$

$\boxed {\bold { x \ . \ x \ +\ 40x = 4500 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 40x = 4500 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 40x - 4500 = 0 }}$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

La cual se puede resolver para x

a) Por factorización

$\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 40x - 4500 = 0 }}$

$\large\textsf{Considerando la forma: } \bold {ax^{2} + bx + c}$

$\large\textsf{Hallamos un par de enteros cuyo producto sea c y su suma sea b }$

$\large\textsf{Donde el producto es -4500 y la suma es 40 }$

Los números enteros son:

$\boxed{ \bold{ -50 , \ 90 }}$

$\large\textsf{Escribimos en forma factorizada empleando esos n\'umeros enteros }$

$\boxed{ \bold{(x -50 ) (x+90) = 0 }}$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a 0, la expresión completa será igual a 0

Luego

$\boxed{ \bold{x -50 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = 50 }}$

$\boxed{ \bold{x + 90 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = -90 }}$

La solución completa son los valores que hacen a (x-50)(x+90) = 0 verdadero

$\large\boxed{ \bold{x = 50, - 90 }}$

b) Empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =40 y c = -4500 }$

$\large\textsf{Para resolver para x }$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -40 \pm \sqrt{ 40^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -4500) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -40 \pm \sqrt{1600- 4\ . \ -4500 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -40 \pm \sqrt{1600+ 18000 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -40 \pm \sqrt{19600 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -40 \pm \sqrt{140^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -40 \pm140 }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = -20 \pm70 }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$

$\large\boxed{ \bold{x = 50, - 90 }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 50 \ metros }}$

Nota: Se ha hallado el valor de la variable x por 2 métodos, en donde no es necesario que se resuelva el problema desarrollando ambos. Se han desarrollado los dos para que ustedes empleen cualquiera de ellos, o con el que se sientan más familiarizados :)

Luego

$\large\textsf{Ancho = x }$

$\large\textsf{Ancho = 50 metros }$