7) Un afiche rectangular debe tener 50cm2 de zona de impresión, con márgenes de 4cm arriba y abajo y márgenes de 2cm a cada lado.
a) Expresar el área del afiche como función de la longitud de uno de sus lados.
b) Indicar variable independiente y dependiente.
c) Indicar Dominio de la función.
Respuestas
Respuesta:Las dimensiones que debe tener el cartel para minimizar la cantidad de papel que se usará son: tanto de base horizontal como de longitud vertical.
Explicación paso a paso:
Tenemos una lámina de papel con márgenes superior e inferior 4 in y márgenes izquierdo y derecho de 2 in cada uno.
La función objetivo es el perímetro del papel. Si llamamos h la longitud del lado vertical del área de impresión y x la longitud del lado horizontal del área de impresión; la función objetivo viene dada por:
Perímetro = P = 2(x + 4) + 2(h + 8) in
Lo conveniente es que P esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos el área de impresión (ecuación auxiliar) para despejar h en función de x:
por tanto la función objetivo es
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de P.
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
es un mínimo de la función P.
Sustituimos el valor de x en la ecuación de cálculo de h:
Las dimensiones que debe tener el cartel para minimizar la cantidad de papel que se usará son: tanto de base horizontal como de longitud vertical.
Respuesta:
a) f(h)=50/h
b) variable independiente = h
variable dependiente = l
(l es largo y h es alto)
(pudo haber sido al revés pero yo elegí h)
c) si hacemos el grafico nos damos cuenta que el dominio es: (0;+∞)