Question

Hallar la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros sea el segmento que une los puntos
(5,-1) y (-3,7)
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Answer 1

Explicación paso a paso:

Los puntos A(5,-1) y B(-3,7) son los extremos del diámetro de la circunferencia. De esa información, llamemos $x_{1} =5$, $y_{1} =-1$, $x_{2} =-3$ y $y_{2} =7$, y llamemos a $C(X,Y)$ el centro de la circunferencia, es decir, el punto medio entre los extremos del diámetro. Calculemos $X$ y $Y$:

$X=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} =\frac{(5)+(-3)}{2} =\frac{2}{2} =1$

$Y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2} =\frac{(-1)+(7)}{2} =\frac{6}{2} =3$

Por lo tanto, el centro está en C(1,3).

En los datos de la circunferencia, sabemos que el centro se ubica en las coordenadas C(h,k), por lo tanto, h=1 y k=3.

Por otro lado, la distancia entre cualquier extremo del diámetro y el centro de la circunferencia será igual al radio $r$. Encontremos $r$ con la fórmula de la distancia entre dos puntos. Tomaré el punto A para calcular el radio (tomando el punto B debe salir el mismo resultado):

$r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}$

$r=\sqrt{((1)-(5))^2+((3)-(-1))^2}$

$r=\sqrt{(-4)^2+(4)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32$

Ahora ya tenemos los valores de h, k y r, por lo tanto ya podemos encontrar la ecuación de la circunferencia:

$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

$(x-1)^2+(y-3)^2=(\sqrt{32})^2$

$(x^2-2x+1)+(y^2-6y+9)=32$

$x^2+y^2-2x-6y+10-32=0$

$x^2+y^2-2x-6y-22=0$  ====> Ecuación general de la circunferencia

Answer 2

La ecuación de la circunferencia que su diámetro es el segmento que une los puntos (5,-1) y (-3,7), es:

(x-1)²+(y-3)²= 32

¿Cómo es la ecuación de una circunferencia?

Una curva cerrada que se caracteriza porque la distancia de cualquier punto perteneciente a la curva y el centro es siempre igual.

Ec. Ordinaria: (x-h)²+(y-k)²= r²

Ec. General: Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

Siendo:

• c: centro (h, k)
• r: radio

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros sea el segmento que une los puntos (5,-1) y (-3,7)?

La distancia entre los dos puntos es diámetro:

d = √[(7+1)²+(-3-5)²]

d = √[64 + 64]

d = √(128)

d = 8√2

r = d/2 = 4√2

Siendo;

r² = (4√2)²

r² = 32

El punto medio del diámetro es el centro de la circunferencia;

Pm = c = [(5-3)/2; (-1+7)/2]

c = (1; 3)

Sustituir en la Ec.;

(x-1)²+(y-3)²= 32

Puedes ver más sobre la ecuación de una circunferencia aquí:

https://brainly.lat/tarea/13611291

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