Question

dos trenes se encuentran separados entre si, en linea recta una distancia de 1542 km si el primer tren va a 80km/hr y el otro tren lleva una velocidad de 62 km/ hr, efectua los calculos correspondientes de las distancias recorridas por los trenes cada hora y dtermina a que hora se encontraran a menos 300 km entre si

Answer 1

Para las distancias recorridas por los trenes cada hora se adjunta una tabla con los valores correspondientes

Se encontrarán a menos de 300 kilómetros entre sí en 8,74 horas

Se trata de un problema de móviles que marchan en sentidos opuestos

Dado que el problema no dice otra cosa los dos móviles se desplazan en trayectoria recta, a velocidad constante y con aceleración nula. Eso implica recorrer distancias iguales en tiempos iguales (MRU)

Donde

Dos trenes, el Tren A y el Tren B se mueven en sentidos contrarios con velocidades constantes de 80 km/h y  62 km/h, respectivamente.

Se desea saber

Las distancias recorridas por los trenes cada hora

El tiempo de encuentro a menos de 300 km entre sí

SOLUCIÓN

a) Cálculo de las distancias recorridas

Por la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

$\large\boxed {\bold {Distancia = Velocidad \ . \ Tiempo}}$

La distancia se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad por el tiempo transcurrido

Donde debemos destacar que

La distancia es directamente proporcional a la velocidad y el tiempo

Donde la representación gráfica de la distancia recorrida en función del tiempo origina una recta cuya pendiente es correspondiente con la velocidad

Vamos a calcular las distancias para ambos móviles de este modo:

Tomando para cada uno de ellos dos instantes de tiempo para ejemplificar la situación

TREN A

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ A} = Velocidad_{\ TREN \ A} \ . \ Tiempo}}$

Para un tiempo de 2 horas

$\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ A} = 80 \ km/ h \ . \ 2 \ h }}$

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ A} = 160 \ km }}$

Para un tiempo de 3 horas

$\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ A} = 80 \ km/ h \ . \ 3 \ h }}$

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ A} = 240 \ km }}$

TREN B

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ B} = Velocidad_{\ TREN \ B} \ . \ Tiempo}}$

Para un tiempo de 2 horas

$\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ B} = 62 \ km/ h \ . \ 2 \ h }}$

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ B} = 124 \ km }}$

Para un tiempo de 3 horas

$\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ B} = 62 \ km/ h \ . \ 3 \ h }}$

$\large\boxed {\bold {Distancia_{\ TREN \ B} = 186 \ km }}$

Las distancias de los móviles se calculan de la misma manera, donde sólo cambia el instante de tiempo

Siendo muy extenso calcular las distancias recorridas por los dos trenes cada hora

Se agrega al ejercicio una tabla adjunta donde se han calculado las distancias recorridas por los dos trenes para cada hora

       

b) Cálculo del tiempo de encuentro

El instante de tiempo en que los dos trenes están separados 1542 km, lo llamaremos t = 0, y  definiremos el origen en el punto donde se encuentra el Tren A, el más veloz,  en t = 0 de este modo:

Luego

$\large\boxed {\bold { x_{0 \ TREN \ A } = 0 \ , \ \ \ x_{0 \ TREN \ B} = 1542 } }}}$

$\large\boxed {\bold { V_{ \ TREN \ A } = 80\ km/h \ , \ \ \ V_{ \ TREN \ B } = 62 \ km/h } }}}$

Entonces, en cualquier instante posterior de tiempo, las posiciones o trayectorias correspondientes serán:

$\boxed {\bold { x_{\ TREN \ A} =80 \ . \ t } }}}$

$\boxed {\bold { x_{}\ TREN \ B =1542 - 62 \ . \ t } }}}$

Como el tiempo de encuentro será el mismo para ambos, igualamos las ecuaciones

$\boxed {\bold { x_{\ TREN \ A} = x_\ TREN \ B{} } }}}$

$\boxed {\bold {80 \ . \ t =1542 - 62 \ . \ t } }}}$

$\boxed {\bold {80 \ . \ t \ + 62 \ . \ t =1542 } }}}$

$\boxed {\bold { 142 \ . \ t =1542 } }}}$

$\boxed {\bold { t = \frac{1542}{142} } }}}$

$\large\boxed {\bold { t = 10,859154 \ horas } }}}$

Lo que equivale a 10 horas 51 minutos 36 segundos

Siendo este valor el tiempo de encuentro de los dos móviles

Luego como se pide determinar a que hora se encontrarán a menos 300 kilómetros entre sí

PLANTEAMOS

$\boxed {\bold { x_{\ TREN \ A} = x_\ TREN \ B{} } }}}$

$\boxed {\bold {80 \ . \ t = (1542-300) - 62 \ . \ t } }}}$

$\boxed {\bold {80 \ . \ t \ + 62 \ . \ t =1542 -300 } }}}$

$\boxed {\bold { 142 \ . \ t =1242 } }}}$

$\boxed {\bold { t = \frac{1242}{142} } }}}$

$\boxed {\bold { t = 8,74647 \ horas } }}}$

$\large\boxed {\bold { t = 8,74 \ horas } }}}$

Lo que equivale a 8 horas 44 minutos 24 segundos

Se adjunta la tabla para las distancias de los trenes recorridas en cada hora,

Se agrega una tabla comparativa de las distancias entre los móviles desde que se estableció el el origen en el punto donde se encuentra el Tren A en t = 0