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Respuesta:
Combinatoria o reglas de conteo
En ocasiones no es sencillo el contar el número de casos favorables o el número de
casos posibles. La ciencia que estudia las reglas de conteo se denomina Combinatoria.
1. Variaciones sin repetición: ¿Cuántas palabras pueden formarse escogiendo 3 letras de las que forman la palabra CARLOS? Para resolver este problema podemos simplificarlo, estudiando primero cuántas palabras de una letra se pueden
formar: C,A,R,L,O,S (6), cuántas de dos letras, etc... hasta obtener una formula general.
Nos pueden ser de ayuda los diagramas en forma de árbol
1a letra 2a letra 32 letra
A → R
% ...
C → R
...
A → C
...
Así se obtiene que con sólo una letra tenemos 6 palabras distintas, con dos, 6 · 5 = 30
palabras distintas y con tres, 6 · 5 · 4 = 120, etc... ya que una vez colocada la primera
letra sólo tenemos cinco opciones para la segunda y colocadas las dos primeras letras,
sólo tenemos cuatro opciones para la tercera. Intente obtener el número de palabras de
longitud m que pueden formarse con n letras (símbolos) diferentes. La solución es
Vn,m = n(n − 1)
m − numeros ´ | {z } ... = n(n − 1)...(n − m + 1)
donde la letra V proviene de Variaciones, que es el nombre que reciben estas formaciones
caracterizadas por el hecho de que en ellas influye el orden en que se coloquen los símbolos,
de forma que la palabra CAR es diferente de la palabra CRA.
2. Permutaciones sin repetición: Un caso particular de variaciones son aquellas
en las que intervienen todos los símbolos (n = m), denominadas Permutaciones, cuyo
número será
Pn = Vn,n = n(n − 1)...1 = n!
donde n!, se lee como ene factorial y es simplemente una forma de representar la multiplicación n(n − 1)...1. Con esta notación se tiene Vn,m = n!/(n − m)!.
Veamos un ejemplo, ¿Cuántas palabras pueden formarse permutando (cambiando) las letras de la palabra CARLOS? La solución es:
P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
3. Combinaciones sin repetición: Existen otro tipo de problemas donde el orden
no tiene importancia, por ejemplo si tenemos que escoger a dos ingenieros para
trabajar en nuestra empresa de entre siete candidatos, ¿cuántas opciones diferentes tenemos? Este problema consiste en elegir un subconjunto de dos personas de un
conjunto formado por los siete candidatos:
1
abcd
efg → b g
De nuevo para resolver el problema, estudiaremos primero otros más simples. Primero
supongamos que tenemos un conjunto con un sólo elemento {a}, que tendrá 1 subconjunto
con cero elementos (el vacio ∅) y otro con un elemento {a}. Si el conjunto tiene dos
elementos {a,b}, tendrá 1 con cero elementos, 2 ({a} y {b}) con un elemento, y 1 ({a,b})
con dos elementos. Para {a,b,c} se obtienen 1,3,3,1, para {a,b,c,d}, 1,4,6,4,1, etc... Estos
números pueden escribirse de la forma siguiente:
1 1
121
13 31
14 6 41
1 5 10 10 5 1
Obsérvese que los números de una fila se obtienen sumando los situados justamente
encima de él.
1 3
.&.
1 4
Estos números reciben el nombre de números combinatorios y esta forma de presentarlos es conocida como el triángulo de Pascal o de Tartaglia. Puede comprobarse que el
número que aparece en la fila n en la posición m + 1, que representaremos mediante ³n
m
´
(n sobre m), verifica
à n
m
!
= n!
m!(n − m)!
Por ejemplo, ³
4
2
´
= 4!
2!2! = 6. Por convenio, se define 0!=1 para que ³
4
0
´
= 4!
4!0! = 1. Es
decir, el triángulo de Pascal estaría formado por
³
1
0
´ ³1
1
´
³
2
0
´ ³2
1
´ ³2
2
´
³
3
0
´ ³3
1
´ ³3
2
´ ³3
3
´
³
4
0
´ ³4
1
´ ³4
2
´ ³4
3
´ ³4
4
´
Con la notación introducida se tendría que el número de combinaciones de n elementos
tomados de m en m es
Cn,m =
Ã
n
m
!
= n!
m!(n − m)! = Vn,m
m!
fórmula que puede deducirse teniendo en cuenta que de cada combinación {1,...,m} se
obtienen m! variaciones permutando los símbolos entre sí (123...m, 213...m, etc...).