1. Desde un faro puesto a 40 m sobre el nivel del mar se observa un barco con un angulo de depresión de 55 grados
¿ A que distancia se halla el faro del barco ?.
2. Un trabajador de la empresa de energía debe subir a la altura de un poste donde se unen los cables del alumbrado . Si cuenta con una escalera de 5,5 de longitud y separa la base de la escalera 1,5 del poste
A. ¿ Que angulo se forma con la horizontal y el extremo inferior de la escalera ?
B.¿ A que altura se encuentra la Unión de los cables alumbrado ?
Respuestas
PROBLEMA 1
El faro se haya a 28 metros del barco
Respuesta
Dibujamos primero el faro y el barco, trazamos una linea con pendiente descendente hasta el barco, y notamos que se forma un triangulo rectángulo, donde el cateto opuesto es la altura del barco (40m) y conocemos el angulo de elevación desde el barco al faro (55°).
Aplicando la ley del seno, calculamos la hipotenusa:
SenФ = Cateto Opuesto / Hipotenusa
Hipotenusa = Cateto Opuesto / SenФ
Hipotenusa = 40 / Sen(55)
Hipotenusa = 40/0,81915
Hipotenusa = 48,83 m
Conocido esto, calculamos la distancia entre el barco y el faro, la cual corresponde al cateto adyacente usando relación de Pitagoras:
H² = CA² + CO²
CA² = H² - CO²
CA² = 48,83²- 40²
CA² = 2384,3689 - 1600
CA² = 784,3689
CA = √784,3689
CA = 28 m
PROBLEMA 2
Solución
Se forma un angulo de 74,17° y la unión de los cables se encuentra a 5,70 metros.
Respuesta
Al colocar la escalera a 1,5 metros del poste, se forma un triangulo rectángulo (ver segunda figura), con hipotenusa de 5,5m. Aplicamos pitagoras para encontrar el valor del cateto opuesto:
H² = CA² + CO²
CO² = H² - CA²
CO² = 5,5²- 1,5²
CO² = 30,25 - 2,25
CO² = 32,5
CO = √32,5
CO = 5.70 m (esta es la altura de los cables)
Ahora, para calcular el angulo, aplicamos la identidad trigonometrica del coseno:
CosФ = Cateto Adyacente / Hipotenusa
CosФ = 1,5 / 5,5
CosФ = 0,2727
Usamos coseno inverso a ambos lados de la ecuacion:
Ф = Cos⁻¹(0,2727)
Ф = 74,17° (Angulo de inclinación de la escalera)
La distancia del faro al barco es de 32,77 metros y el ángulo que se forma con la horizontal y el extremo inferior de la escalera es igual a 5.29 metros
Pregunta #1: ¿ A que distancia se halla el faro del barco ?.
Vemos que se forma un triángulo rectángulo que tiene una altura de 40 metros, y que el ángulo opuesto a esta altura es igual a 55 grados, luego tenemos que queremos encontrar la hipotenusa del triángulo rectángulo, entonces como disponemos de la altura que es el cateto opuesto, tenemos que usaremos la ecuación dle seno del ángulo:
sen(a) = cateto opuesto/hipotenusa
Ahora despejemoa el valor de la hipotenusa:
hipotenusa = sen(a)*cateto opuesto
Sustituimos los valores del cateto opuesto y de "a" que es el ángulo:
hipotenusa = sen(55)*40 m = 32,77 metros
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Pregunta #2:
Podemos observar para este caso tenemos un triángulo rectángulo donde nos dan la longitud de la escalera que es la linea diagonal, que representa la hipotenusa, y la distancia de la base que es un cateto, entonces, veamos cada una de las preguntas que nos solicitan:
¿Qué ángulo se forma con la horizontal y el extremo inferior de la escalera?
Es el ángulo adyacente al cateto que conocemos, entonces usamos la ecuación de coseno del ángulo:
cos(a) = cateto adyacente/hipotenusa
Sustituimos:
cos(a) = 1,5 m/5,5 m =
a = arccos(1.5/5.5) = 74.17°
¿ A qué altura se encuentra la Unión de los cables alumbrado ?
La altura: vendria siendo el cateto opuesto a este ángulo:
sen(74.17°) = cateto opuesto/5,5 m
cateto opuesto = sen(74.17°) *5.5 m
cateto opuesto = 5.29 metros
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#SPJ3
