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Solución por intervalo: %
F
M
,
!V
Explicación paso a paso:
espero que te ayude Respuesta:
SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE
Resolver una inecuación es hallar el conjunto de soluciones de las incógnitas que
satisfacen la inecuación.
Terminología: ax + b > cx + d
Resolver cada una de las siguientes inecuaciones o desigualdades, expresando
cada conjunto de soluciones en notación por desigualdad, intervalo y gráfico:
1. Resolviendo una inecuación lineal > +
Solución.
Operando el segundo miembro:
6 > 12
Dividiendo entre 6 a ambos lados para despejar x:
6
>
12
Simplificando resulta que (solución por desigualdad):
> 2
Por consiguiente el conjunto solución para x son todos los valores mayores
que 2.
Solución por intervalo: (2, ∞)
Gráficamente: (
Primer miembro Segundo miembro
0 2
0
8
2. Resolviendo una inecuación lineal − < + 5
Solución:
Pasando x al primer miembro y 3 al segundo:
2 − < 5 + 3
Operando término a término resulta que (solución por desigualdad):
< 8
Por consiguiente el conjunto solución para x son todos los valores menores
que 8.
Solución por intervalo: (−∞, 8)
Gráficamente: )
3. Resolviendo una inecuación lineal con fracciones −
≥ −
Solución:
Multiplicando cada miembro por 2 y simplificando:
1 − 3x
2
≥ (x − 4)
2 − 3x ≥ 2x − 8
Pasando 2x al primer miembro y el 2 al segundo:
−3x − 2x ≥ −8 − 2
Operando término a término:
−5x ≥ −10
Dividiendo entre -5 a ambos lados e invirtiendo el sentido de la desigualdad:
−5x
− ≥
−10
−
0 2
0 4
Simplificando resulta que (solución por desigualdad):
x ≤ 2
Por consiguiente el conjunto solución para x son todos los valores menores o
iguales que 2.
Solución por intervalo: (−∞, 2]
Gráficamente: ]
4. Resolviendo una inecuación con nociones algebraicas
( + )( − ) < ( − ) +
Solución.
Aplicando la propiedad distributiva en el primer miembro y resolviendo el
producto notable en el segundo:
x
! + 2x − 3 < x! − 2x + 1 + 3x
Suprimiendo
!
en ambos miembros y transponiendo términos semejantes:
2 + 2 − 3 < 1 + 3
< 4
Por consiguiente el conjunto solución para x son todos los valores menores
que 4.
Solución por intervalo: (−∞, 4)
Gráficamente: )
5. Resolviendo una inecuación lineal con fracciones algebraicas
"
−
"
>
Solución.
Multiplicando en cruz el primer miembro:
(x + 3)(x + 2) − 12
3(x + 2) >
x
3
Multiplicando por 3 a ambos lados y simplificando:
#
(x + 3)(x + 2) − 12
(x + 2) $ > %
x
3
&
(x + 3)(x + 2) − 12
(x + 2) >
Pasando x al primer miembro y multiplicando en cruz en el mismo:
(x + 3)(x + 2) − 12
(x + 2)
− x > 0
(x + 3)(x + 2) − 12 − x(x + 2)
(x + 2)
> 0
Efectuando operaciones algebraicas en el numerador y simplificando:
x
! + 2x + 3x + 6 − 12 − x! − 2x
(x + 2)
> 0
3x − 6
(x + 2)
> 0
3(x − 2)
(x + 2)
> 0 , ahora multiplicando por
1
3
a ambos lados, quedando 8inalmentes:
(x − 2)
(x + 2)
> 0
Observación: a diferencia de los ejemplos anteriores no se puede
multiplicar a ambos lados (x + 2) puesto que se estaría eliminando una
solución.
Así que el paso a seguir es sacar los valores críticos (valores que anulan el
numerador y denominador) los cuales se obtienen igualando a cero tanto al
numerador como al denominador por separado, de la siguiente manera:
− 2 = 0 ;<=><?;@ = 2
x + 2 = 0 ;<=><?;@ = −2
Los valores críticos son: x = 2 y x = -2. (Éstos se ubican en la recta
numérica)
Aplicando el “método del cementerio” podemos obtener la solución del
mismo:
− − − − − − − − − − − + + + + + + + +
( − 2)
− − − − − − − + + + + + + + + + + + +
( + 2)
(+) (−) (+)
AB!
A"!
) [
-2 2
Ahora como la inecuación es mayor que cero, entonces el conjunto de
soluciones consiste de todos los números reales en el intervalo (−∞, −2) ∪
[2, ∞). Nótese que el valor de -2 en la solución no se incluye puesto que éste
hace cero al denominador.
0
0
0
-2
2
6. Resolviendo una inecuación con fracciones algebraicas
!
A
E"A
>
!
A
EBA
+
F
A
EBG
Solución
Factorizando cada una de las expresiones del denominador:
2
x(x + 1) >
2
x(x − 1) +
3
(x − 1)(x + 1)
Sacando el m.c.m (mínimo común múltiplo) al segundo miembro:
x(x − 1)(x + 1)
2
x(x + 1) >
2(x + 1) + 3x
x(x − 1)(x + 1)
Pasando el segundo miembro al primero y realizando los cálculos y
simplificaciones respectivas: