Question

Para medir una torre de una basílica de úbica un teodolito que mide un ángulo de 20° si se lo ubica 100 metros más cerca de la basílica el ángulo es de 35° cuál es la altura de la basílica

Answer 1

75,79m la respuesta. Espero te sirva

Answer 2

Construyendo dos triángulos rectángulos y de acuerdo a la definición de la razón trigonométrica tangente, se obtiene que la altura de la torre de la basílica es de   192   metros, aproximadamente.

¿Podemos resolver usando razones trigonométricas?

Con los datos aportados es posible construir dos triángulos rectángulos y usar razones trigonométricas para responder la interrogante.

Dado que la incógnita es la distancia vertical, podemos usar la razón trigonométrica tangente para hallar la altura pedida.

$\bold{Tan(\alpha)~=~\dfrac{Cateto~Opuesto}{Cateto~Adyacente}}$

¿Cuál es la altura de la torre de la basílica?

En la figura anexa se observan dos triángulos rectángulos que se generan con las posiciones adoptadas por el teodolito. De igual forma se observa que la altura de la torre de la basílica es el cateto opuesto en ambos triángulos.

Vamos a usar las tangentes de los ángulos de elevación marcados en las dos posiciones del teodolito para calcular la altura de la torre:

Ángulo de elevación en la primera posición del teodolito:

$\bold{Tan(20^{o})~=~\dfrac{a}{x~+~100}}$

Ángulo de elevación en la segunda posición del teodolito:

$\bold{Tan(35^{o})~=~\dfrac{a}{x}}$

Construimos un sistema de ecuaciones:

$\left \{ {{\bold{Tan(20^{o})~=~\dfrac{a}{x~+~100}}} \atop {\bold{Tan(35^{o})~=~\dfrac{a}{x}}}} \right.$

Aplicamos el método de sustitución, despejando  x  de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera

$\bold{x~=~\dfrac{a}{Tan(35^{o})}}$

$\bold{Tan(20^{o})~=~\dfrac{a}{\dfrac{a}{Tan(35^{o})}~+~100}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{Tan(20^{o})~=~\dfrac{a}{\dfrac{a~+~100~Tan(35^{o})}{Tan(35^{o})}}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{Tan(20^{o})~=~\dfrac{a~Tan(35^{o})}{a~+~100~Tan(35^{o})}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{Tan(20^{o})~[a~+~100~Tan(35^{o})]~=~a~Tan(35^{o})\qquad\Rightarrow}$

$\bold{a~Tan(35^{o})~-~a~Tan(20^{o})~=~100~Tan(35^{o})\qquad\Rightarrow\qquad a~=~192~~m}$

La altura de la torre es de  192  metros, aproximadamente.

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