Question

Son mUCHOS PUNTOS AYUDENME =)
CALCULAR el área de la esfera circunscrita a un cubo,si el área de la esfera inscrita es igual a 60 
a)120  b)60  c)180 d)240 e)320 

Answer 1

Esfera Inscrita a un Cubo: Es la esfera que es tangente a todas las caras del cubo, y la medida del radio de dicha esfera es la mitad de la medida de la arista del cubo.
Es decir: $r= \frac{a}{2}$ ; donde "r" es el radio de la circunferencia inscrita y "a" es la arista del cubo. 

Esfera Circuscrita a un Cubo: Es aquella esfera que pasa por cada vértice del cubo; y la medida del radio de la esfera circunscrita es la mitad de la medida de la diagonal del cubo.
Es decir: $R= \frac{D}{2}$ ; donde R es el radio de la Esfera circunscrita y D es la diagonal del Cubo; ademas se sabe que: $D=a \sqrt{3}$
Por tanto: $R= \frac{a \sqrt{3} }{2}$

Por dato: $A_{Ei}=4 \pi r^{2}=4 \pi ( \frac{a}{2})^{2} = 60$
Entonces: $4 \pi ( \frac{a}{2})^{2}=4 \pi \frac{a^{2}}{4} = \pi a^{2} = 60$
Luego: $a^{2}= \frac{60}{ \pi }$

Nos piden el area de la esfera circunscrita: 
   $A_{Ec}=4 \pi R^{2}$
             $=4 \pi (\frac{a \sqrt{3} }{2})^{2}$
             $=4 \pi \frac{a^{2}3 }{4}$
             $= 3 \pi a^{2}$  ; pero: $a^{2}= \frac{60}{ \pi }$

Luego: $A_{Ec}=3 \pi a^{2} = 3 \pi \frac{60}{ \pi }=3(60) = 180$

Por tanto el area de la esfera circunscrita al cubo es: $A_{Ec}=180$