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Respuesta dada por:
2
Factorear un polinomio entero es transformarlo en producto(multiplicación) de otras expresiones algebraicas enteras
Factor común
6a^3 b^5 c + 12 a^2 b^4 c^2 - 24 a b^3 c^3
Procedimiento
Se busca el mayor factor común de los coeficientes de las variables
MCD de (6, 12, 24) = 6
se buscan los factores comunes literales
MCD (a^3, a^2, a) = a
MCD (b^5. b^4, b^3) = b^3
MCD (c, c^2, c^3) = c
el producto de los factores comunes es 6ab^3c
ahora se divide al polinomio por este producto
6a^3 b^5 c + 12 a^2 b^4 c^2 - 24 a b^3 c^3 =
6ab^3c(a^2b^2 + 2 abc - 4 c^2)
Factor común en grupos de igual número de términos (o sea que el nº de términos del polinomio debe ser par)
Ejemplo
10am - 4ap + 15bm - 6 bp
asocio los términos del polinomio en grupos de modo que haya factores comunes en cada grupo,
10am - 4ap = 2a(5m - 2p)
15bm - 6bp = 3b(5m - 2p)
10am - 4ap + 15bm - 6 bp = 2a(5m - 2p) + 3b(5m - 2p)
como lo que está entre paréntesis tiene igual resultado, los multiplico por lo que quedó fuera de él = (2a + 3b)(5m - 2p)
si asocias los términos en otro orden, por ejemplo el primero con el tercero y el segundo con el cuarto, el resultado será el mismo
Trinomio cuadrado perfecto
¿recuerdas cuando hacías el desarrollo del cuadrado de un binomio?
veamos un ejemplo
(x + 3)^2 = x ^2 + 2.x.3 + 3^2 = x^2 +6x + 9
como puedes ver al desarrollar el cuadrado del binomio obtenemos un trinomio cuadrado perfecto
x^2 + 6x + 9 =
√x^2 √9
x 3
2(x * 3) = 6x
ahora puedo asegurar que
x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
al sacar las raíces , te preguntarás por qué las multipliqué por 2
ahora recordaremos que el desarrollo del cuadrado de un binomio tiene esta fórmula
(a + b)^2 =a^2 + 2.a.b + b^2
fíjate que 2.a.b nos dio 6x , o sea el término que completa el trinomio
Cuatrinomio cubo perfecto
¿recuerdas la fórmula del cubo de un binomio?
(a + b)^3 = a^3 + 3.a^2.b + 3ab^2 + b^3
un binomio elevado al cubo nos da un cuatrinomio cubo perfecto
(y + 2)^3 = y^3 + 3.y^2.2 + 3.y.2^2 + 2^3
= y^3 + 6y^2 + 12y + 8
y^3 + 6y^2 + 12y + 8
∛y^3 2
nuestras raíces son y ,2
ahora comprobamos si realmente este es el resultado, multiplicando por 3 como dice la fórmula
3.y^2.2 = 6y^2
3.y.2^2 = 12y
ahora que lo comprobamos podemos decir que el resultado de
y^3 + 6y^2 + 12y + 8 = (y + 2)^3
Diferencia (resta) de cuadrados
9a^2 - 4b^2 = (3a + 2b)(3a - 2b)
Para factorear un binomio que es diferencia de cuadrados se hace el producto de la suma de las base de dichos cuadrados por la diferencia de las mismas
otro ejemplo
25 b^2 - 49 a^2 = (5b + 7a)(5b - 7a)
Suma de potencias de igual grado PAR,
no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de sus bases
Suma de potencias de igual grado IMPAR, es solamente divisible por la suma de las bases de dichas potencias
(a^5 + 32)
como 32 es 2^5 me queda la suma de dos potencias de igual grado impar, divides por (a + 2)
se soluciona con Ruffini o por la divisón tradicional, como te sea más fácil
1 0 0 0 0 + 32
-2 -2 + 4 - 8 + 16 - 32
-----------------------------
1 - 2 + 4 - 8 + 16 0
entonces
(a^5 + 32): (a +2 ) = (a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16)(a + 2)
La diferencia de dos potencias de igual grado par
es divisible tanto por la suma de las bases de dichas potencias como por la diferencia de las mismas
(a^4 - 81) es divisible por
(a +3) y por (a - 3)
¿por qué 3? porque 81 = 3^4
las divisiones las puedes hacer con Ruffini
espero te sirvan
ni el tiempo ni los recursos son fáciles para explicar desde este lugar
saludos
Factor común
6a^3 b^5 c + 12 a^2 b^4 c^2 - 24 a b^3 c^3
Procedimiento
Se busca el mayor factor común de los coeficientes de las variables
MCD de (6, 12, 24) = 6
se buscan los factores comunes literales
MCD (a^3, a^2, a) = a
MCD (b^5. b^4, b^3) = b^3
MCD (c, c^2, c^3) = c
el producto de los factores comunes es 6ab^3c
ahora se divide al polinomio por este producto
6a^3 b^5 c + 12 a^2 b^4 c^2 - 24 a b^3 c^3 =
6ab^3c(a^2b^2 + 2 abc - 4 c^2)
Factor común en grupos de igual número de términos (o sea que el nº de términos del polinomio debe ser par)
Ejemplo
10am - 4ap + 15bm - 6 bp
asocio los términos del polinomio en grupos de modo que haya factores comunes en cada grupo,
10am - 4ap = 2a(5m - 2p)
15bm - 6bp = 3b(5m - 2p)
10am - 4ap + 15bm - 6 bp = 2a(5m - 2p) + 3b(5m - 2p)
como lo que está entre paréntesis tiene igual resultado, los multiplico por lo que quedó fuera de él = (2a + 3b)(5m - 2p)
si asocias los términos en otro orden, por ejemplo el primero con el tercero y el segundo con el cuarto, el resultado será el mismo
Trinomio cuadrado perfecto
¿recuerdas cuando hacías el desarrollo del cuadrado de un binomio?
veamos un ejemplo
(x + 3)^2 = x ^2 + 2.x.3 + 3^2 = x^2 +6x + 9
como puedes ver al desarrollar el cuadrado del binomio obtenemos un trinomio cuadrado perfecto
x^2 + 6x + 9 =
√x^2 √9
x 3
2(x * 3) = 6x
ahora puedo asegurar que
x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
al sacar las raíces , te preguntarás por qué las multipliqué por 2
ahora recordaremos que el desarrollo del cuadrado de un binomio tiene esta fórmula
(a + b)^2 =a^2 + 2.a.b + b^2
fíjate que 2.a.b nos dio 6x , o sea el término que completa el trinomio
Cuatrinomio cubo perfecto
¿recuerdas la fórmula del cubo de un binomio?
(a + b)^3 = a^3 + 3.a^2.b + 3ab^2 + b^3
un binomio elevado al cubo nos da un cuatrinomio cubo perfecto
(y + 2)^3 = y^3 + 3.y^2.2 + 3.y.2^2 + 2^3
= y^3 + 6y^2 + 12y + 8
y^3 + 6y^2 + 12y + 8
∛y^3 2
nuestras raíces son y ,2
ahora comprobamos si realmente este es el resultado, multiplicando por 3 como dice la fórmula
3.y^2.2 = 6y^2
3.y.2^2 = 12y
ahora que lo comprobamos podemos decir que el resultado de
y^3 + 6y^2 + 12y + 8 = (y + 2)^3
Diferencia (resta) de cuadrados
9a^2 - 4b^2 = (3a + 2b)(3a - 2b)
Para factorear un binomio que es diferencia de cuadrados se hace el producto de la suma de las base de dichos cuadrados por la diferencia de las mismas
otro ejemplo
25 b^2 - 49 a^2 = (5b + 7a)(5b - 7a)
Suma de potencias de igual grado PAR,
no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de sus bases
Suma de potencias de igual grado IMPAR, es solamente divisible por la suma de las bases de dichas potencias
(a^5 + 32)
como 32 es 2^5 me queda la suma de dos potencias de igual grado impar, divides por (a + 2)
se soluciona con Ruffini o por la divisón tradicional, como te sea más fácil
1 0 0 0 0 + 32
-2 -2 + 4 - 8 + 16 - 32
-----------------------------
1 - 2 + 4 - 8 + 16 0
entonces
(a^5 + 32): (a +2 ) = (a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16)(a + 2)
La diferencia de dos potencias de igual grado par
es divisible tanto por la suma de las bases de dichas potencias como por la diferencia de las mismas
(a^4 - 81) es divisible por
(a +3) y por (a - 3)
¿por qué 3? porque 81 = 3^4
las divisiones las puedes hacer con Ruffini
espero te sirvan
ni el tiempo ni los recursos son fáciles para explicar desde este lugar
saludos
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