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INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Publicado el 14 junio, 2012 por Cesar
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La inducción es el proceso de razonar por el cual se extraen conclusiones a partir de análisis de casos particulares. La deducción permite extraer conclusiones particulares a partir de casos generales. La matemática es una disciplina deductiva por excelencia y el razonamiento inductivo es usado cuando el matemático encuentra ciertos patrones y regularidades al manejar los objetos matemáticos y propone una conjetura a partir de los casos que ha analizado; pero para demostrar dicha conjetura deberá utilizar necesariamente un método deductivo.
Uno de los métodos más usados por los matemáticos, para realizar demostraciones, es el Método de Inducción Matemática o Inducción Finita, aunque su nombre hace referencia a un método inductivo de razonamiento, este método es deductivo. Este método fue creado por Blaise Pascal en el siglo XVII y actualmente goza de gran prestigio y ha servido para demostrar teoremas en geometría, teoría de grafos, teoría de números, análisis combinatorio e incluso, últimamente, se lo ha utilizado para demostrar el último teorema de Fermat.
En el aula, antes de comenzar a explicar el tema se hace una introducción de su importancia estudiando algunos accidentes inductivos errores famosos que cometieron grandes matemáticos y sirve para que los alumnos se den una idea de la importancia de conocer un método para realizar demostraciones. A continuación, para una mejor comprensión del método de inducción por parte de los estudiantes aplicamos una analogía utilizando un modelo real conocido como el “efecto dominó” que consiste en lo siguiente: Se les dijo, supongamos que hemos colocado una hilera infinita de dominós de pie, de modo que la distancia entre cada uno de ellos es menor que la longitud de una ficha y alguien empuja la primera ficha y esta cae y todas las demás caen. Este modelo nos indica las ideas básicas del método ya que considera a los números enteros positivos como fichas del dominó.
Esta actividad la hemos realizado en el aula con los propios estudiantes y ellos mismos han llegado a sacar sus conclusiones, de esta manera se pudo demostrar cómo se aplica el método inductivo en matemáticas, a ellos les agradó porque consideraron que matemática también se aprende jugando.
Finalmente, nuestros estudiantes están actualmente leyendo el libro “El enigma de Fermat” de Simon Singh, un libro apasionante que trata de la historia del teorema que intrigó y desafió durante más de 300 años a las mentes más brillantes y que finalmente fue demostrado por el matemático británico Andrew Wiles en 1993.
De esta manera, mediante la lectura tratamos de involucrar a nuestros estudiantes en el mundo de los matemáticos, sus vidas, obras y maneras diferentes que ellos usan par enfrentarse a conjeturas y demostrar teoremas encontrando soluciones que dejan maravillados al lector.
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Publicado el 14 junio, 2012 por Cesar
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La inducción es el proceso de razonar por el cual se extraen conclusiones a partir de análisis de casos particulares. La deducción permite extraer conclusiones particulares a partir de casos generales. La matemática es una disciplina deductiva por excelencia y el razonamiento inductivo es usado cuando el matemático encuentra ciertos patrones y regularidades al manejar los objetos matemáticos y propone una conjetura a partir de los casos que ha analizado; pero para demostrar dicha conjetura deberá utilizar necesariamente un método deductivo.
Uno de los métodos más usados por los matemáticos, para realizar demostraciones, es el Método de Inducción Matemática o Inducción Finita, aunque su nombre hace referencia a un método inductivo de razonamiento, este método es deductivo. Este método fue creado por Blaise Pascal en el siglo XVII y actualmente goza de gran prestigio y ha servido para demostrar teoremas en geometría, teoría de grafos, teoría de números, análisis combinatorio e incluso, últimamente, se lo ha utilizado para demostrar el último teorema de Fermat.
En el aula, antes de comenzar a explicar el tema se hace una introducción de su importancia estudiando algunos accidentes inductivos errores famosos que cometieron grandes matemáticos y sirve para que los alumnos se den una idea de la importancia de conocer un método para realizar demostraciones. A continuación, para una mejor comprensión del método de inducción por parte de los estudiantes aplicamos una analogía utilizando un modelo real conocido como el “efecto dominó” que consiste en lo siguiente: Se les dijo, supongamos que hemos colocado una hilera infinita de dominós de pie, de modo que la distancia entre cada uno de ellos es menor que la longitud de una ficha y alguien empuja la primera ficha y esta cae y todas las demás caen. Este modelo nos indica las ideas básicas del método ya que considera a los números enteros positivos como fichas del dominó.
Esta actividad la hemos realizado en el aula con los propios estudiantes y ellos mismos han llegado a sacar sus conclusiones, de esta manera se pudo demostrar cómo se aplica el método inductivo en matemáticas, a ellos les agradó porque consideraron que matemática también se aprende jugando.
Finalmente, nuestros estudiantes están actualmente leyendo el libro “El enigma de Fermat” de Simon Singh, un libro apasionante que trata de la historia del teorema que intrigó y desafió durante más de 300 años a las mentes más brillantes y que finalmente fue demostrado por el matemático británico Andrew Wiles en 1993.
De esta manera, mediante la lectura tratamos de involucrar a nuestros estudiantes en el mundo de los matemáticos, sus vidas, obras y maneras diferentes que ellos usan par enfrentarse a conjeturas y demostrar teoremas encontrando soluciones que dejan maravillados al lector.
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Tenemos que, la importancia de la inducción matemática se encuentra en las demostraciones matemáticas sobre el conjunto de los naturales, ya que nos da una manera de demostrarlo para cualquier natural en general
Planteamiento del problema
Vamos a tomar la inducción matemática para las proposiciones donde se toma como valor un "n" que toma valores naturales, la inducción matemática se trabaja sobre los naturales
Tenemos los siguientes pasos para realizar la inducción
- Probamos el primer elemento
- Hacemos nuestra variable igual a "n"
- Sustituimos ahora para "n+1" y debemos llegar al paso anterior
Si una proposición que depende de los números naturales aplicamos inducción y esta es verdadera, es suficiente para garantizar que va a cumplirse para todos los números naturales sin tener que probar cada uno, dado que los números naturales son infinitos
Ver más información sobre inducción matemática en: https://brainly.lat/tarea/13322686
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