Si La posición de un móvil está dada por la función x (t) = 5 + t elevado a 2, ¿Dónde estará a los 18 segundos?
Respuestas
Respuesta:
1La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es \quad e(t) = 6t^2. Calcular:
a la velocidad media entre \quad t = 1 \quad y \quad t = 4.
b La velocidad instantánea en \quad t = 1.
Explicación paso a paso:
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es \quad e(t) = 6t^2 . Calcular:
a la velocidad media entre \quad t = 1 \quad y \quad t = 4.
\begin{align*} v_m &= \frac{e(4) - 4(1)}{4 - 1}\\ &= \frac{96 - 6}{3}\\ &= 30 \frac{m}{s} \end{align*}
b La velocidad instantánea en \quad t = 1.
\begin{align*} v(1) &= e'(1)\\ &= \lim_{h \to 0}{\frac{e(1 + h) - e(1)}{h}}\\ &= \lim_{h \to 0}{\frac{6(1 + h)^2 - 6}{h}}\\ &= \lim_{h \to 0}{\frac{6(1 + 2h + h^2) - 6}{h}}\\ &= \lim_{h \to 0}{\frac{ 12h + h^2}{h}}\\ &= \lim_{h \to 0}{12 + h}\\ &= 12 \frac{m}{s} \end{align*}
2Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:
\begin{equation*} f(t) = \begin{cases} 10^6 & 0 \leq t \leq 2\\ 10^6 \cdot e^{(t-2)} & t > 2 \end{cases} \end{equation*}
Se pide:
a Verificar que la población es función continua del tiempo.
b Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos \quad [0, 2] \quad y \quad [0, 4].
c Calcular la tasa de variación instantánea en \quad t = 4.