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Respuesta:
El gráfico U se utiliza cuando no es posible tener siempre la misma unidad de medida para contar el número de defectos (o noconformidades, o clientes, etc...). Entonces, se controla el número medio de defectos por unidad de medida. Por ejemplo:
Los elementos a analizar pueden contener un número variable de unidades: por ejemplo dos rollos de película fotográfica no tendrán exáctamente la misma longitud, diferentes láminas de vidrio tendrán distinta superficie.
Es difícil tomar mediciones a intervalos iguales de tiempo: el inspector puede estar dedicado a varias tareas, por lo que es necesario un esquema más flexible.
Si llamamos ci al número de defectos (u ocurrencias de cierto suceso) en la muestra i-ésima y ni al tamaño de dicha muestra (número de metros del cable, número de unidades de tiempo, número de cm2 de superficie analizada...). El número de defectos por unidad de medida será:
La variable ci es una variable de Poisson de parámetro:
donde λ es el número medio de sucesos por unidad. Por tanto:
E(ci )= λi = niλ
Var(ci )= λi = niλ
Esta variable ui es, entonces, un promedio de variables tipo Poisson, donde los sucesos se observan en intervalos de longitud distinta. Si el valor de ni es suficientemente grande, la variable aleatoria ui será, por el Teorema Central del Límite, aproximadamente normal. El gráfico de control de la variable ui será:
y si la aproximación a al normal es buena, contendrá al 99.7% de las observaciones. De las anteriores se obtiene que
El gráfico de control tendrá de límites:
Si la media λ es desconocida, se puede estimar con valores preliminares de ui. La media de la distribución del número medio de defectos se estimará con:
Entonces
Y el gráfico de control U con los límites estimados será
El LCI será cero si la fórmula anterior diese un valor negativo. En resumen, el gráfico se construirá de la siguiente manera:
1. Se toman k muestras de tamaños ni, i = 1,...,k y se cuenta el número de defectos ci de cada muestra y el número medio por unidad de medida de cada muestra ui = ci / ni
2. Se calcula la media del numero medio de defectos por unidad de medida . Si el proceso ha estado bajo control, este estimador será un buen estimador de λ y será la linea central del gráfico.
3. Se calculan los límites de control a tres desviaciones típicas de la línea central
Estos límites varían con el tamaño muestral. Al igual que ocurría con los gráficos P, dado que los límites de control no son constantes, la interpretación de rachas y tendencias se ha de hacer con cautela. Una posible opción sería representar el gráfico normalizado; es decir, representar los valores
en un gráfico donde la línea central es cero y los límites LCS=3 y LCI=3. La capacidad del proceso se define como , por ello : Estimación de la capacidad =
Ejemplo 4:
Un operario inspecciona la calidad de unos circuitos impresos (arañazos, bandas incorrectas, grosor no uniforme, etc.). Los circuitos que inspecciona son muy diversos. Según el tipo de circuito se apunta su superficie y el número de defectos. Tras inspeccionar 12 placas obtiene los datos de la tabla.
Superficie cm2
El número total de defectos es 42 y la superficie total 451cm2. Por tanto
Los límites de control dependen de cada placa, al tener superficies distintas. La figura muestra el gráfico de control donde se representan los valores de ui (u1 =4/50, ..., u12 =4/38) del número de defectos por cm2 . En el gráfico se observa que el proceso está en estado de control.