Question

dominio y rango de la función variable

Answer 1

Su dominio son todos los reales excepto 0 y 2, y su rango seria de 0 a 2, sin incluir el cero e incluyendo el 2

Answer 2

Hay una división indicada. En el denominador se indica la raíz cuadrada principal de un polinomio, impongo que éste radicando debe ser estrictamente mayor que cero, o sea,
|x-2|-1>0
Sumo 1 a ambos miembros
|x-2|>1
Aplico la definición de valor absoluto en la inecuación
x-2>1 si x>2
x-2<-1 si x<2
Resuelvo cada inecuación lineal
En x-2>1
sumo 2 a ambos miembros
x>3, en intervalo es (3,+∞)
En x-2<-1
Sumo 2 a ambos miembros
x<1, en intervalo es (-∞,1)
Así, el dominio viene dado por la unión de los dos intervalos solución.
Dom g=(-∞,1)U(3,+∞).

A partir de la expresión analítica de la función puedo deducir el rango de g. Dado que el numerador de la fracción es una constante 2, significa que la fracción nunca se anula, así 0 no pertenece al rango, además como g es función, porque se pide solamente la raíz cuadrada positiva del radicando, significa que el denominador será siempre positivo, lo que quiere decir que el cociente 2 positivo entre algo positivo en el denominador siempre va a dar positivo, (+ ÷ +=+). O sea, los negativos tampoco pertenecen al rango.
Cuando el denominador crezca y tienda hacia el más infinito, el valor de la fracción disminuye pero siempre manteniéndose positivo, acercándose al límite cero pero sin llegar a valer cero; y cuando el valor del denominador disminuya pero siempre manteniéndose positivo, acercándose a cero pero sin llegar a valer cero, el valor de la fracción tiende hacia el más infinito. Lo que quiere decir que el Rgo g=(0,+∞)

Si intentas despejar "x" en función de "y" en la ecuación de la función, te darás cuenta que "y" queda como denominador, y eso significa que y=0 es un asíntota horizontal de la función.

Tayakai