Question

Se desea construir una pista de carrera de 400 metros de perímetro. La pista debe estar formada por un rectángulo con dos semicírculos localizados en dos lados opuestos del rectángulo. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo si se quiere que el área de este sea máxima?​

Answer 1

Respuesta:

x = 100 metros

y = $\frac{200}{\pi }$ metros

Explicación paso a paso:

Datos:

Perímetro = 400 metros

Área de un rectángulo = base * altura

Circunferencia = diámetro * $\pi$

Desarrollo:

En este caso tomaremos los lados más largos del rectángulo (o base) como x y los lados más cortos (o altura) como y.

Como los semicírculos están a cada lado opuesto del rectángulo, su diámetro es igual a y.

En base a los datos anteriores tenemos la siguiente fórmula que nos servirá más adelante para despejar x e y

y$\pi$ + 2x = 400

Ya que son dos semicírculos, lo podemos simplificar como a un único círculo. Seguidamente, como nos proporcionan el perímetro de la pista, solamente utilizaremos los lados x del rectángulo.

Despejamos y en términos de x:

y = $\frac{400-2x}{\pi }$

Ahora que tenemos y en términos de x podemos averiguar el área del rectángulo

Área del rectángulo

A = x * y

A = x * $\frac{400-2x}{\pi }$

A = $\frac{400x-2x^{2} }{\pi }$

Hallar valor de x

Para hallar el valor de x derivamos el numerador del área del rectángulo

A'(x) = 400x - $2x^{2}$

A'(x) = 400 + 4x

Al tener el área derivada despejamos el valor de x

x = $\frac{400}{4} = 100$

Comprobamos que el valor de x sea máximo

Para comprobar que el valor de x sea máximo derivamos de nuevo A'(x)

A''(x) = 400 - 4x

A''(x) = -4

El valor total sería $\frac{-4}{\pi }$ y al ser un valor negativo aseguramos que 100 es el valor máximo de x

Hallar el valor de y

Luego de comprobar el valor máximo de x, sustituimos su valor por 100 en la siguiente ecuación

$y=\frac{400-2x}{\pi }$

$y=\frac{400-2(100)}\pi }$

$y=\frac{200}{\pi }$