Question

Un pescador está a 12km de un barco que se encuentra al este de él y observa un faro a 60 grados desde la línea de visión con el barco a qué distancia está el barco del faro si se encuentra en dirección sur del barco

Answer 1

La distancia entre el barco y el faro es de 12√3 kilómetros o de aproximadamente 20.78 kilómetros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 30-60 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la distancia en línea recta desde el barco hasta el faro - donde este último se ubica en dirección sur de la posición del barco-, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal -en dirección este- desde el pescador hasta el barco -donde ambos se encuentran en la misma línea de visión, -o lo que es lo mismo se hallan alineados-. Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la longitud visual desde los ojos del pescador hasta el faro- el cual al estar en dirección sur con respecto al barco, se halla por debajo de la línea horizontal de visión entre el pescador y el barco; por tanto el faro es visto por el observador con un ángulo de depresión de 60°

Donde se pide hallar:

La distancia entre el barco y el faro

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 60° al punto B para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la distancia desde el pescador hasta el barco y de un ángulo de depresión de 60°

• Distancia desde el pescador hasta el barco = 12 kilómetros

• Ángulo de depresión = 60°

• Debemos hallar la distancia entre el barco y el faro

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia en dirección este desde el pescador hasta el barco y conocemos un ángulo de depresión de 60° y debemos hallar la distancia entre el barco y el faro -donde este último se encuentra al sur del barco-, siendo dicha distancia el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia entre el barco y el faro

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =60^o}$

Como el triángulo es notable de 30-60 al conocer el valor del cateto adyacente al ángulo de 60°, para hallar la dimensión del cateto opuesto basta multiplicar el valor del cateto adyacente al ángulo de 60° por √3

Los cálculos nos darán la razón

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(60^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ distancia \ barco\ al \ faro }{ distancia \ pescador \ al \ barco } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ barco\ al \ faro = distancia \ pescador \ al \ barco \ . \ tan(60^o) } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es } \bold {\sqrt{3} }$

$\boxed{\bold {distancia \ barco\ al \ faro = 12 \ km \ . \ \sqrt{3} } }$

$\large\boxed{\bold {distancia \ barco\ al \ faro = 12\sqrt{3} \ km } }$

$\textsf{Expresado de manera decimal: }$

$\large\boxed{\bold {distancia \ barco\ al \ faro \approx 20.78 \ km } }$

Luego la distancia entre el barco y el faro es de 12√3 kilómetros o de aproximadamente 20.78 kilómetros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto