Respuestas
Respuesta:
(el núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W).
Entonces ker(T) es un subespacio de V .
(la imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈
L(V, W). Entonces im(T) es un subespacio de W.
Explicación paso a paso:
Parte de demostración. Se aplica el criterio de subespacio. Se demuestra que el conjunto
im(T) es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación por escalares, además contiene
al vector cero.
Mostremos que el conjunto im(T) es cerrado bajo la adición. Sean w1, w2 ∈ im(T).
Por la definición de la imagen, existen v1, v2 ∈ V tales que w1 = T(v1), w2 = T(v2). Por
la linealidad de T,
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = w1 + w2.
Logramos encontrar un vector x = v1 + v2 tal que T(x) = w1 + w2. Por la definición de la
imagen, esto implica que w1 + w2 ∈ im(T).