Ayuda
Se dispone de un tubo de aluminio de 6 metros para construir una portería de fútbol. Si
queremos que el área de la portería sea máxima, ¿cuánto deben medir los postes y el
travesaño?
Respuestas
Respuesta:
El área tendrá 12.5 metros cuadrados.
Las medidas de la portería son:
2.5 de alto y 5 metros de ancho.
Explicación paso a paso:
x = Alto de la portería.
y = Largo de la portería.
Longitud de la barra: 2x + y = 10 metros, y= 10 - 2x
x.y=área
f(a)=x.y pero y = 10 - 2x
Para encontrar un máximo o mínimo, debemos igualar a cero.
f'(a)=10 - 4x = 0
4x = 10
x = 10 / 4
x = 2.5
El alto de la portería es: 2.5 metros.
y = 10 - 2x
y=10-2(2.5)
y=10-5
y=5
El ancho de la portería es: 5 metros.
Para la portería únicamente necesitamos dos veces la altura = 2.5 x 2=5 más el lago = 5 la suma es: 5 + 5 = 10 metros lineales.
El área es: 12.5 metros cuadrados.
La medida de los postes y travesaño de la portería que permiten obtener una área máxima es:
- 1.5 m postes
- 3 m travesaño
¿Cuál es el área y perímetro de un rectángulo?
Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, con la característica que sus lados opuestos son iguales.
El área de un rectángulo es el producto de sus dimensiones o lados.
A = largo × ancho
El perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados.
P = 2 largo + 2 ancho
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Cuánto deben medir los postes y el travesaño?
Definir;
- x: poste
- y: travesaño
El perímetro de la portería debe ser igual a la longitud del tubo de aluminio.
P = 6 m
6 = 2x + y
Despejar y;
y = 6 - 2x
Sustituir y en A;
A = (x)(6 - 2x)
A = 6x - 2x²
Aplicar primera derivada;
A' = d/dx (6x - 2x²)
A' = 6 - 4x
Aplicar segunda derivada;
A'' = d/dx (6 - 4x)
A'' = - 4 ⇒ Máximo relativo
Igualar a cero A';
6 - 4x = 0
4x = 6
x = 6/4
x = 3/2 = 1.5 m
Sustituir;
y = 6 - 2(3/2)
y = 3 m
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