. Determine el valor de K para que la ecuación X 2 + Y2 – 10X + 8Y + K = 0 represente una circunferencia de radio 8.
Respuestas
Respuesta:
k=-8
Explicación paso a paso:
La ecuación de la circunferencia tiene la forma canónica.
(x-h)²+(y-k)²=r²
donde
centro=(h,k)
radio=r
Vamos a pasar la ecuación general a esa forma para calcular el radio y el valor de "k"
Pasando a la forma canónica.
x²+y²-8x+10y+k=0
x²+y²-8x+10y=-k
x²-8x+y²+10y=-k
Ahora completamos los trinomios cuadrados perfectos
(x+a²)=x²+2ax+a²
x²-2(4x)+y²+2(5y)=-k
x²-2(4x)+(4)²+y²+2(5y)+(5)²=-k+5²+4²
(x-4)²+(y+5)²=-k+25+16
(x-4)²+(y+5)²=-k+41
Nota: Para completar cuadrados dividimos entre dos los términos lineales de la ecuación y le sumamos ese número al cuadrado en ambos lados de la ecuación para no alterar la igualdad.
Ahora sabemos que el radio es igual a "7"
(x-4)²+(y+5)²=r²=(-k+41)
Sabemos que el radio es igual a "7"
(7)²=(-k+41)
49=-k+41
Despejando "K"
k=41-49
k=-8